Ableitung von Exponentialfunktion f(x) = x^{x^x}

Question

könnte mir bitte jemand helfen. ich schaffe es nicht x^{x^x} abzuleiten. & ermitteln sie den maximalen bereich auf dem die folgenden funktionen differenzierbar sind.

danke:)

Comments

  Komisch; antworten lässt er mich nicht. Nur kommentieren. Gerade hier bewährt sich die Trchnik des ===> logaritmischen Differenzierens.


      ln  (  y  )  =  x  ^  x  ln  (  x  )         (  1  )


     Die Ableitung von ( x ^ x ) setze ich als bekannt voraus; sie lässt sich auf analogem Wege ermitteln. Sie lautet



            [  1  +  ln  (  x  )  ]  x  ^  x       (  2  )


     Produktregel beachten



     y  '  /  y  =  ln  (  x  )  [  1  +  ln  (  x  )  ]  x  ^  x  +  x  ^  (  x  -  1  )      (  3  )


    Definitionsbereich sind erst mal alle x > 0 . Wir werden zeigen: Grenzwert für x ===> 0 ist Null. Dazu genügt es zu zeigen, dass x  ^  x ===> 1
  Wie üblich gehe ich über den Logaritmus.



      ln  (  x  ^  x  )  =  x  ln  (  x  )     (  4a  )


     Der Ausdruck ( 4a ) müsste demnach gegen Null gehen; und jeder Physiker weiß das auch. Ich werde jedoch  eine Substitution angeben, die meines Wissens in der Literatur nicht vorkommt; setze



         z  :=  ln  (  x  )   ;  z  ===>  (  -  °°  )      (  4b  )

         x  =  exp  (  z  )       (  4c  )

          x  ln  (  x  )  =  z  exp  (  z  )     (  4d  ) 


     In ( 4d ) argumentiere ich: Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom.

Answer 1

f(x) = x^{x^x} = EXP(EXP(x·LN(x))·LN(x))

Nun Ableiten nach Kettenregel und Produktregel. Du solltest auf folgendes kommen:

f'(x) = x^x^x·x^{x - 1}·(x·LN(x)^2 + x·LN(x) + 1)

Comments

könntest du es vielleicht detällierter machen?

EXP(EXP(x·LN(x))·LN(x)) heißt das: e^{xlnx} * lnx

warum benutzt man e und lnx ? ich weiss dass es die umkehrfunktion ist.

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Weist du wie du die Ableitung von 

f(x) = x^x 

bilden musst? Das wäre die Vorstufe zu deiner Funktion. Auch dort solltest du die Funktion umschreiben um sie Ableiten zu können.

Willst du das zunächst mal selber Probieren?

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x^x ist doch e^x*ln(x) oder?

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Achtung. Das ln(x) steht auch im Exponenten. Damit das hier in eine Reihe geschrieben werden kann nehme ich

f(x) = x^x = EXP(x * LN(x)) = e^{x * ln x}

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ja das ln(x) sollte im exponenten sein ich habe es nur nicht richtig hier geschrieben

aber wie leitet mand as jetzt weiter ab?

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Kettenregel

f(x) = EXP(x * LN(x))

Kettenregel: Außere Ableitung * Innere Ableitung

f'(x) = EXP(x * LN(x)) * [x * LN(x)]'

Kannst du die innere selber machen ?

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jaa die innere: 1*1/x

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Genau

Kannst du das so nachvollziehen?

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Jadanke sehr!! kannst du mir kurz sagen warum wir bei x^{x^2} daraus e^{x^2*ln(x)} und bei x^x^x haben wir x^x*ln(x)?

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Beim Logarithmus kannst du das Logarithmengesetz anwenden

LN(a^b) = b * LN(a)

Ein Exponent im Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden. Dabei ist es egal wie kompliziert auch immer der Exponent ist. Der Exponent kann also auch wieder selber eine Potenz sein.

Answer 2

Ableitung von x<sup>x^x

Zur Theorie und einige Beispiele findest Du hier:</sup>

http://www.math-grain.de/download/m1/diff-r/ableitung/log-ableitung-1.pdf

Meine Berechnung:

Comments

danke, warum ist die ableitung von x^x --> ln(x+1) wie kommt man drauf?

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siehe hier :(Du mußt das ganze "Verfahren" nochmal machen, für x^x)

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Die Ableitung von x^x ist nicht nur ln(x+1). Das wirst du feststellen wenn du selber mal die Ableitung von x^x machst wie ich es dir in meiner Antwort empfohlen habe.

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Dankeschön, würdest du mirnochein Gefallen tun, würdest du mir zeigen wie man x^{x*x} also x^{x^2} ableitet?

mein problem ist ich weiss nicht wann ich den natürlichen logarithmus anweden soll. in dem bsp mit x^x^x hast du ja draus x^x * ln(x) zuerst gemacht

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f(x) = x^{x * x} = x^{x^2} = EXP(x^2 * ln(x))

Nun wieder Kettenregel plus Produktregel.

Answer 3

     Mein Kommentar wurde geprüft und für Würdig befunden; eben darf ich auch antworten.

          Gerade hier bewährt sich die Trchnik des ===> logaritmischen Differenzierens.


      ln  (  y  )  =  x  ^  x  ln  (  x  )         (  1  )


     Die Ableitung von ( x ^ x ) setze ich als bekannt voraus; sie lässt sich auf analogem Wege ermitteln. Sie lautet



            [  1  +  ln  (  x  )  ]  x  ^  x       (  2  )


     Produktregel beachten



     y  '  /  y  =  ln  (  x  )  [  1  +  ln  (  x  )  ]  x  ^  x  +  x  ^  (  x  -  1  )      (  3  )


    Definitionsbereich sind erst mal alle x > 0 . Wir werden zeigen: Grenzwert für x ===> 0 ist Null. Dazu genügt es zu zeigen, dass x  ^  x ===> 1
  Wie üblich gehe ich über den Logaritmus.



      ln  (  x  ^  x  )  =  x  ln  (  x  )     (  4a  )


     Der Ausdruck ( 4a ) müsste demnach gegen Null gehen; und jeder Physiker weiß das auch. Ich werde jedoch  eine Substitution angeben, die meines Wissens in der Literatur nicht vorkommt; setze



         z  :=  ln  (  x  )   ;  z  ===>  (  -  °°  )      (  4b  )

         x  =  exp  (  z  )       (  4c  )

          x  ln  (  x  )  =  z  exp  (  z  )     (  4d  ) 


     In ( 4d ) argumentiere ich: Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom.

Comments

dankeschön:) kannst du mir sagen wie ermittelt man den maximalen bereich auf den diese funktion differenzierbar ist?