Wert einer Reihe berechnen. Summanden: ((-2)^n+9)/(3^{n+1})

Question

Hi,

ich sitze schon seit geraumer Zeit an der folgenden Aufgabe aber komme einfach nicht weiter. Vielleicht könntet ihr mir dabei helfen. Es geht um folgende Reihe, deren Wert ich berechnen soll:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { (-2) }^{ n }+9 }{ { 3 }^{ n+1 } }  } $$

ich habe folgendes versucht, bin mir aber total unsicher, ob das so korrekt ist:

$$ \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { (-2) }^{ n }+9 }{ { 3*3 }^{ n } }  } $$

$$\frac { 9 }{ 3 } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { { (-2) }^{ n } }{ { 3 }^{ n } }  }  $$

Stimmt der Ansatz überhaupt oder liege ich grundsätzlich falsch mit der Annahme die Reihe auseinander zu ziehen?

Answer 1

" Stimmt der Ansatz überhaupt oder liege ich grundsätzlich falsch mit der Annahme die Reihe auseinander zu ziehen? " 

Du hast + und * verwechselt.

Teile auf in eine Summe von 2 konvergenten geometrischen Reihen nach dem Rechengesetz 

(a+b)/c = a/c + b/c 

(Dann hast du 2 Summenzeichen und kannst konstante Faktoren (nicht Summanden!) vor das Summenzeichen schreiben. Eine Reihe hat dann mit q= -2/3 und die andere mit q=1/3) 

Comments

vielen Dank! :)

Hat zwar etwas gedauert, aber durch eure Antworten kam ich dahinter.

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Bitte. Freut mich, dass du das nun hast.

Answer 2

das aufspalten der Summe ist richtig. Es ergibt sich

((-2)^n+9)/(3^{n+1})=(-2)^n/3^{n+1}+9/3^{n+1}

=1/3*(-2/3)^n+3/3^n

Es handelt sich um zwei geometrische Reihen, deren Grenzwert berechnet werden kann.

S=1/5+9/2=47/10