Interpretiere die Summe ∏n:= ∑ | zk+1 - zk | (die Summe geht von k=0 bis n-1) geometrisch

Question

Guten Morgen ich brauche ganz Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

 

Es sei n ∈ ℕ und für k=0,1,2,...,n sei  z_k:= e^{^}(2πik / n)

Interpretiere die Summe  ∏_n:= ∑ | z_k+1 - z_k |   (die Summe geht von k=0 bis n-1)

geometrisch und berechne den Grenzwert lim ∏_n

Hinweis: Es ist   | sin x - x | ≤ | x |³ / 6 für  | x | ≤ 2

 

Comments

Interpretiere die Summe  ∏_n:= ∑ | z_k+1 - z_k |   (die Summe geht von k=0 bis n-1)

geometrisch:

∏_n ist die Summe der Abstände aufeinanderfolgender Folgenglieder bis zum Folgenglied Nr. n. Also sozusagen ein Pfadlänge.

Berechnen vielleicht mal ein paar z_k , zeichne sie in die komplexe Zahlenebene und bestimme ihre Abstände.

Answer 1

Es sei n ∈ ℕ und für k=0,1,2,...,n sei  z_k:= e^{^}(2πik / n)

Die Zahlen liegen alle gleichmässig verteilt auf dem Einheitskreis. 2π/n ist 1/n der vollen Winkels. 

Interpretiere die Summe  ∏_n:= ∑ | z_k+1 - z_k |   (die Summe geht von k=0 bis n-1)

∏_n ist die Summe der Abstände aufeinanderfolgender Folgenglieder bis zum Folgenglied Nr. n. Also sozusagen ein Pfadlänge.

Im Grenzwert (unendlich viele kleine Winkel) misst dieser Pfad gleich viel wie der Umfang des Einheitskreises. Also 

lim  _{(n gegen unendlich)} ∏_n = 2π