Zeige mit Hilfe des Cauchyprodukts: 1/(1-z)2 = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*zk

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyprodukts für z∈ℂ mit |z|<1, dass gilt:

1/(1-z)^2 = ∑(k=0 bis ∞) (k+1)*z^k

Problem/Ansatz:

Ich weiß ungefähr wie ich das Problem allgemein beweisen kann, jedoch hab ich leider keinen Ansatz wie ich es mit dem Cauchyprodukt machen soll.

Danke schonmal im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

Berechnung mit dem Cauchy-Produkt$$\frac{1}{(1-z)^2}=\frac{1}{1-z}\cdot\frac{1}{1-z}=(\sum_{i=0}^{\infty}z^i)\cdot(\sum_{j=0}^{\infty}z^j)=$$$$=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{i=0}^{n}(1\cdot 1))z^n$$

Comments

Leider keine Ahnung wie ich das berechnen soll, wie kommt denn überhaupt der letzte Schritt zustande?

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Du hast \(a_i=1\) und \(b_{n-i}=1\), also ist die innere Summe

\(\sum_{i=0}^n a_i\cdot b_{n-i}=\sum_{i=0}^n 1\cdot 1\)