Grenzwert von Reihen: Summe von ((1 + ( -2)^k ) / 4^k )

Question

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1+{ (-2) }^{ k } }{ { 2 }^{ 2k } }  }  $$

Ich weiß, dass ich im Nenner das 2^2k auch als 4^k schreiben kann aber wie bekomm ich die 1 im Zähler vor die Summe ?

Vielen Dank

Answer 1

schreib doch die Summanden um:

(1 + ( -2)^k )  /  4^k

= 1 / 4^k        + ( -2)^k )  /  4^k

= ( 1/4)^k           +    ( -1/2)^k 

Daraus machst du zwei Summen und erhältst mit

der Formel für die geom. Reihe

1 /  ( 1 - 1/4 )      +      1 / ( 1 + 1/2 )

= 4/3       +    2/3 

= 6/3 

= 2