1. Aufgabe:
$$\sum _{ j=1 }^{ 317 }{ \frac { 7 }{ 3 } j }$$
Konstante Faktoren können vor die Summe gezogen werden (Ausklammern):
$$=\frac { 7 }{ 3 } \sum _{ j=1 }^{ 317 }{ j }$$
In der Summe werden nun die ersten 317 natürlichen Zahlen summiert. Dafür gibt es eine Formel, die "gaußsche Summenformel", auch gern "kleiner Gauß" genannt:
Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist gleich ( n / 2 ) * ( n + 1 ).
Diese Formel wird hier angewendet:
$$=\frac { 7 }{ 3 } \left( \frac { 317 }{ 2 } \right) (317+1) =117607$$
2. Aufgabe:
$$\sum _{ j=4 }^{ 10 }{ { \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ j } }$$
Indextransformation (der Schritt fehlt auf dem Blatt): Der Summenindex wird um 3 verringert, dafür muss der Index im Summanden um 3 erhöht werden, also:
$$=\sum _{ j=1 }^{ 7 }{ { \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ j+3 } }$$
Der Summand wird in zwei Faktoren zerlegt:
$$=\sum _{ j=1 }^{ 7 }{ { \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 4 } } { \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ j-1 }$$
Der konstante Faktor wird vor die Summe gezogen:
$$={ \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 4 }\sum _{ j=1 }^{ 7 }{ { \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ j-1 } }$$
Die Summe kann mit der Formel für die Partialsummen einer geometrischen Reihe berechnet werden, sodas sich ergibt:
$$={ \left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) }^{ 4 }\frac { 1-\left( -\frac { 3 }{ 4 } \right) ^{ 7 } }{ 1-(-\frac { 3 }{ 4 } ) }$$
Der Rest ist nur noch ausrechnen.
3. Aufgabe:
Bei der dritten Summe nichts Neues: Wieder wird erst der konstante Faktor 5 vor die Summe gezogen, dann wird der Summand in zwei Faktoren zerlegt, von denen der eine konstant ist und vor die Summe gezogen wird und die Summe über den anderen wieder als Partialsumme einer geometrischen Reihe berechnet werden kann.
4. Aufgabe:
$$\sum _{ k=-8 }^{ 2 }{ 32{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } k+1 } }$$
Konstanten Faktor vor die Summe ziehen:
$$=32\sum _{ k=-8 }^{ 2 }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } k+1 } }$$
Summanden in zwei Faktoren zerlegen:
$$=32\sum _{ k=-8 }^{ 2 }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } k } } \left( \frac { 1 }{ 4 } \right)$$
Konstanten Faktor vor die Summe ziehen:
$$=32*\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) \sum _{ k=-8 }^{ 2 }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ -\frac { 1 }{ 2 } k } }$$
Summationsgrenzen mit - 1 multiplizieren, also auch das k im Exponenten:
$$=8\sum _{ k=8 }^{ -2 }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } k } }$$
Summationsgrenzen vertauschen, das ändert nur die Reihenfolge der Summanden und hat bei endlichen Summen keinen Einfluss auf das Ergebnis der Summation:
$$=8\sum _{ k=-2 }^{ 8 }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } k } }$$
( 1 / 4 ) ( 1 / 2 ) * k = ( ( 1 / 4 ) ( 1 / 2 ) ) k = √ ( 1 / 4 ) k = ( 1 / 2 ) k , also:
$$=8\sum _{ k=-2 }^{ 8 }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } }$$
Indextransformation: Der Summenindex wird um 3 erhöht, dafür muss der Index im Summanden um 3 verringert werden, also:
$$=8\sum _{ k=1 }^{ 11 }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k-3 } }$$
Summanden in zwei Faktoren zerlegen:
$$=8\sum _{ k=1 }^{ 11 }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k-1 } } { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ -2 }$$
Den konstanten Faktor ( 1 / 2 ) - 2 = 4 vor die Summe ziehen:
$$=8*4\sum _{ k=1 }^{ 11 }{ { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k-1 } }$$
Die Summe wieder als Partialsumme einer geometrischen Reihe berechnen:
$$=32\frac { 1-\frac { 1 }{ { 2 }^{ 11 } } }{ 1-\frac { 1 }{ 2 } }$$
und ausrechnen.
