Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe ∑ von k=2 bis∞ (-1)^{k}*(3^{k+1}/4^k)

Question

∑ von k=2 bis∞  (-1)^{k}*(3^{k+1}/4^k)
Über einen ausführlichen Lösungsweg bzw. einen Ansatz würde ich mich sehr freuen.
Schon im Voraus vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

setze k=i+2

Deine Summe formt sich dann um in:

∑_i=0^∞-1^{i}*3^{i+3}/4^{i+2}=27/16*∑_i=0^∞-1^{i}*3^{i}/4^{i}=27/16*∑_i=0^∞ (-3/4)^{i}

Es handelt sich um eine geometrische Reihe. Diese konvergiert gegen 1/(1-q)=4/7

mit q=(-3/4).

-->27/16*∑_i=0^∞ (-3/4)^{i}=27/28

Answer 2

∑ von k=2 bis∞  (-1)^{k}*(3^{k+1}/4^k)

= 3 ∑ von k=2 bis∞  (-1)^{k}*(3^{k}/4^k)

= 3 ∑ von k=2 bis∞  (-3/4)^{k}        | Geometrische Reihe mit q=(-3/4) und erstem Summanden (-3/4)^2

= 3 * (-3/4)^2 * 1/(1 + 3/4))

= 27/16 * 1/(7/4)

= 27/16 * 4/7

= 27/(4*7)

= 27/28