Berechnen Sie den Grenzwert der Reihe : ∑ (-1)^{n+1} / n^2

Question

Gegeben ist folgende Reihe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}} \)

Berechnet werden soll der Grenzwert.

Als Hilfe steht dabei, dass sum 1/n² gegen pi²/6 konvergiert.

Jedoch habe ich auch keine Ahnung wie ich das berechnen soll.

Comments

Um die Hilfestellung anzuwenden, könnte man vielleicht aufteilen

 ∑ (-1)ⁿ⁺¹ / n²

= ∑ (-1)^2k+1 / (2k)² +  ∑ (-1)^2k / (2k-1)²

= - ∑ 1  / (2k)² +  ∑ 1 / (2k-1)²

= -1/4  ∑ 1  / k²  + ∑ 1 / (2k-1)²

= -π^2 / 24  + ∑ 1 / (2k-1)²

Nun weiss ich allerdings nicht, was ich mit dem 2. Summanden anfangen soll

Answer 1

$$\text{(1) }s=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$$$$\text{(2) }\frac{\pi^2}6=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$$Bilde die Differenz aus (2) und (1). Die ungeraden Glieder addieren sich zu Null.$$\frac{\pi^2}6-s=2\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n)^2}=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$$$$s=\frac{\pi^2}{12}.$$