Taylorentwicklung mehrere Variablen

Question

wie kommt auf bei folgender Aufgabe auf die Werte c_0, c_1, c_2 ? Hatte überlegt, dass es vielleicht über das Restglied läuft, aber irgendwie bin ich total verwirrt. Hoffe ihr könnt mir helfen, da ich das bis zur Klausur gerne verstehen wollen würde

Answer 1

meine Berechnung:

Zu a) falls interessiert :

Natürlich wird hier nur T(1) berechnet, also :T(1)= 4 +3(x-1) +3 (y-1)

ich habe hier schon das 2, Glied berechnet im Zusammenhang mit b.

Dann habe ich den Ausdruck in der Summe (bei b)  ausführlich geschrieben und bei beiden Darstellungen jeweils die Koeffizienten verglichen . Somit habe ich dann die angegebenen Koeffizienten  erhalten.

Answer 2

Schreibe $$f(x,y)=[(x-1)+1]^2+[(x-1)+1][(y-1)+1]+2[(y-1)+1]$$ und rechne aus.

Answer 3

gegeben ist eine Polynomfunktion 2ten Grades. Das Taylorpolynom 2ten Grades dieser Funktion ist die Funktion selbst, weil alle höheren Ableitungen verschwinden. Bei Aufgabe b) ist ein Basiswechsel gefragt, also braucht man nicht ableiten. Wenn du das nicht gleich erkennst , kannst du auch die allgemeine Formel mit ableiten nehmen:

T2(x,y)=f(x0,y0)+grad f(x0,y0)*(x-x0,y-y0)^T+1/2*

(x-x0,y-y0)*Hess(f(x0,y0))*(x-x0,y-y0)^T

=T1(x,y)+

1/2*(x-x0,y-y0)*Hess(f(x0,y0))*(x-x0,y-y0)^T

Hess(f(x0,y0))=    2 1

                                1 0

1/2*(x-x0,y-y0)*Hess(f(x0,y0))*(x-x0,y-y0)^T=

(x-1)^2+(x-1)*(y-1)

Jetzt kannst du die Koeffizienten ablesen. Der Faktor vor (y-1)^2 ist 0, weil in der Ausgangs Funktion die maximale Potenz von y 1 ist.