Kern eines Auswertungshomomorphismus / Einsetzungshomomorphismus

Question

Beschreiben Sie einen Ringhomomorphismus f:ℝ[X]-->ℂ mit f(a)=a für alle a∈ℝ und f(X)=π.

Bestimmen Sie den Kern I=ker(f) durch Angabe von endlich vielen Polynomen P₁,...P_r mit I=(P₁,...Pr)

Bei dem ersten Teil habe ich den Auswertungshomomorphismus angewendet. Wobei dieser X auf π abbildet und a auf a. Bei dem Kern bin ich mir jedoch unsicher. Ich glaube, dass der Kern aus X-π und 0 besteht. Könnt Ihr mir da weiterhelfen?

Answer 1

Bei dem ersten Teil habe ich den Auswertungshomomorphismus angewendet. Wobei dieser X auf π abbildet und a auf a.

Denke das stimmt.

Bei dem Kern bin ich mir jedoch unsicher. Ich glaube, dass der Kern aus X-π und 0 besteht.

p=ao + a1x + a2x^2 + ... anx^n

f(p) = 0 ⇔ f ( ao + a1x + a2x^2 + ... anx^n) = a0 + a1*π + a2*π^2 + a3*π^3 + ..... + an*π^n = 0

also klappt es mit X-π und 0  aber doch auch mit

π^2 - 2πx + x^2 = (π - x ) ^2   oder auch   π - x + πx^2   -  x^3   = (  π - x)  +  x^2 *( π   -  x)  

und das sind immer Vielfache von ( x - π ).

Dann stimmt das wohl auch.