S Spiegelung an der winkelhalbierende linear

Question

Sei S: ℝ^2 --> ℝ^2 die Spiegelung an der Winkelhalbierenden in der Ebene. Zeigen Sie, dass S linear ist und bestimmen sie die Abbildung S° h wobei h so feiniert wird:

h: ℝ^2 --> ℝ^2, (a ,b) --> ( a -  b

                                            b -  a)

über h wissen wir: dass sie linear ist (da sie additiv und homogen ist)

dankschön:)

Comments

1. Spiegelung an welcher Winkelhalbierenden?

2. Was genau ist denn gesucht? 

3. In welcher Reihenfolge werden S und h ausgeführt, wenn ihr S° h schreibt? 

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1. gemeint ist wahrscheinlich Spiegelung an der Geraden y=x

2. gesucht ist die Abbildung S und man soll schauen, ob S linear ist

3. S o h = S(h(x,y)) (übliche Konvention der Komposition)

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1. S hat Matrix

( 0 1 

  1 0 ) 

Answer 1

Spiegelung an der Winkelhalbierenden y = x ist einfach nur:

vertauschen von x und y, also

S: ℝ² --> ℝ²    (x , y) →   ( y , x )

linear ist auch klar, musst nur additiv und homogen zeigen.

S o h ( x,y ) = S (  x - y  ,  y - x )  =  ( y - x ,  x - y ) .

Comments

also lautet die funktion x=y

udn nun soll ich zeigen dass S linear ist

1. additiv f(y+x) = f(x)+f(y)

f(y) = y    f(x)=x

f(y+x) = y+x = f(x)+f(y)

wahr

2. homogen

a * f(y+x) = a* f(x) + a*f(y)

a+(y+x) = a*y + a*x

wahr

-> linear
wie funktioniert das aber mit S o h

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Nein, um zu zeigen, dass S linear ist, musst du

S (   (a,b) + (x,y) ) = S (a,b) + S (x,y)  zeigen.

Das ist doch eine Fkt von R² nach R²

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danke, aber warum gehört das a,b dazu ich achte dass es zu h gehört

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Namen sind Schall und Rauch, du kannst auch schreiben

S (   (a,b) + (c,d) ) = S (a,b) + S (c,d)

wichtig ist, dass man das S "auseinanderziehen" kann.

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okay dankeschön, und wie geht es mit S o h?

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entsprechend

Soh (   (a,b) + (c,d) ) = Soh (a,b) + Soh (c,d)

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Soh heißt doch dass es eine komposition aus S und h ist

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Genau, und wenn du zeigen willst, dass die auch linear ist,

kennst du entweder einen entsprechenden Satz, oder zeigst es

" zu Fuß" gemäß

Soh (   (a,b) + (c,d) )

=S  (  h (   (a,b) + (c,d) )  )

= S  (  h (   (a,b) + h (c,d) )  )      (weil h linear )

= S(h (a,b))    + S( h (c,d))     ( weil S linear )

= Soh (a,b) + Soh (c,d)

entsprechend für Homogenität.

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dankeschön:) darf man wirklich einfach sich variablen aussuchen also hier a,b und c,d

homogenität:

α* Soh (   (a,b) + (c,d) )

= Soh (   α(a,b) + α(c,d) )

= S(α*h (a,b))    + S( α*h (c,d))    

= Soh α*(a,b) + Soh α*(c,d)

so??

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Bei der Homogenität brauchst du keine Summe, eher so

 Soh (α*(a,b))

= ...

= α* Soh (   (a,b) )

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Danke aber wozu brauch ich zu wissen dass die funktion x=y ist?

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Und was ist mit "vbestimmen sie die abbildung" gemeint soll ich jetzt herausfinden was Soh ist?

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Das heißt m.E. nur wie man rechnen muss, also

dass S o h ( x,y )  =  ( y - x ,  x - y ) .

gilt.

Answer 2

alle Spiegelmatrizen an Ursprungsgeraden mit Winkel α zur x-Achse  haben die Form:

S_g= (cos 2α  sin 2α)

         (sin(2α)  -cos(2α) )

für α=π/4 ergibt sich

S= 0 1

      1 0

da S durch eine Matrix dargestellt werden kann, ist S eine lineare Abbildung.

h=1 -1

      -1 1

(S o h) = S*h =  -1    1

                             1     -1