Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen

Question

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Bestimme die Fläche A, die die beiden Funktionen f (x) = e^x und g (x)= x+ 2 einschließen.

Danke für die Hilfe!!

Answer 1

Hi,

bestimme die Schnittpunkte der beiden Funktionen.

Da komme ich mit Hilfe des Newtonverfahrens auf:

e^x = x + 2

x₁ ≈ -1,84141

x₂ ≈ 1,14619

Dann das Integral der Differenzfunktion h(x) = e^x - x - 2 aufstellen:

$$\int_{x_1}^{x_2} e^x - x - 2 = [e^x - \frac12x^2 - 2x] = -1,949$$

A = 1,949

Grüße

Answer 2

e^x = x+2

gibt keine exakte Lösung, sondern etwa - 1, 84  und  + 1, 15

Also Integral von - 1, 84  bis   + 1, 15  über ( x + 2 - e^x ) dx

gibt etwa 1,95

Comments

"Unknown" tut so, als gäbe es eine exakte Lösung. Das ist typisch für die neue (rechnergestützte) Art, Mathematik zu betreiben.

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? Meine Angabe der Anwendung des Newtonverfahrens (also ein Näherungsverfahren) stellt Dich nicht zufrieden?

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Das ist es nicht, sondern deine Gleichheitszeichen

x_(1) = -1,84141

x_(2) = 1,14619

Ich schlage vor x₁ ≈ - 1,84141 und x₂ ≈ 1,14619.

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Das gebe ich zu. Das war eher Faulheit. Habs nun angepasst.

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x	f(x)	f '(x)
2	3,389056099	6,389056099
1,469552928	0,877738227	3,347291155
1,207329481	0,137211573	2,344541054
1,148805629	0,005617478	2,154423106
1,146198212	1,07135E-05	2,146208926
1,146193221	3,91998E-11	2,146193221
1,146193221	0	2,146193221

Nullstellen von  f(x) = e^x - x - 2  mit dem Newtonverfahren

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

x	f(x)	f '(x)
-1	-0,632120559	-0,632120559
-2	0,135335283	-0,864664717
-1,843482357	0,001747686	-0,841734671
-1,841406066	3,41376E-07	-0,841405725
-1,84140566	1,28786E-14	-0,84140566
-1,84140566	0	-0,84140566

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Das Anwenden des Newton-Verfahrens verlässt vermutlich den Rahmen der Schulmathematik. Ist dem so und stammt die Aufgabe aus der Schulmathematik, nützen die Ausführungen hier dem Fragesteller eher wenig. Vielleicht soll ein GTR eingesetzt werden?