L invertierbar? darstellende Matrix? L: ((a,0),(0,b)) --> ((a+b,0),(0,a+b))

Question

könnte mir bitte helfen

ich weiss es es ist eine lange aufgabe aber ich möchte nur dass man mir erst bei a und b hilft damit ich selbst alleine weitermacher, könnnte ir auch jemand zeigen wie man e) berechnet.

Gegeben sei die Menge D:= ( a   0

                                                      0    b)  , a,b∈ℝ  zur Basis B:= ( 1     0 )  ,      (0    0)

                                                                                                        (0      0) ,      (0     1) 

und die Abbildung L: D--> D (a  0             (a+b       0)

                                                    0    b)   ->    ( 0        a+b)

a) Ist L invertierbar?

b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix L_B

.....

e) Wie groß ist dim(Kern(L))?

Mein Ansatz zu b)

Ich habe es im Unterricht nicht mit Matrizen sondern mit funktionen gehabt.

L_B = K_B o L o K_B ^-1

L_B= K_B ( L( K_B ^{-1} ( a,b,c)))

= K_B ( L( a   0

               0     b)               = K_B (a+b      0

                                                   0           a+b)

Eigentlich müsste ich K_B jetzt bestimmen, aber damit komme ich nicht klar.

!

Comments

Hier ist an einem Beispiel ausgefuehrt, wie man die darstellende Matrix einer Abbildung bestimmt:

https://www.mathelounge.de/373631/funktion-f-diagonalisierbar-bei-verschiedenen-korpern

Das kannst Du adaptieren. Es wird \(\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}\) rauskommen.

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Ich habe nur das hinbekommen:

a= λ(a+b)

0=0

0=0

b= λ(a+b)

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Ich hab keine Ahnung, was das sein soll. Vielleicht haelst Du Dich ja einfach mal an die Anleitung, die da besagt: Bilder der Basiselemente bestimmen und deren Koordinatenvektoren spaltenweise in die Matrix schreiben.

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Also auf der verlinkten Seite kann ich das mit E₁₁  etc. nicht nachvollziehen..

Ich glaube die Matrix lautet

(1  0  0  1

1   0  0   1

0   0  0   0

0   0    0   0)

Und?

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In Deinem Fall hast Du eine Basis \(B=\{E_1, E_2\}\) mit $$E_1=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad E_2=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix}$$ vorgegeben. Rechne \(L(E_1)\) und \(L(E_2)\) aus. Gib dann davon jeweils die Basisdarstellung und den Koordinatenvektor bzgl. \(B\) an.

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Könntest du mir L (E1) vormachen bitte

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In der Aufgabe steht doch ganz klar, dass $$L\left(\begin{pmatrix}a&0\\ 0&b\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a+b&0\\ 0&a+b\end{pmatrix}$$ sein soll. Was ist jetzt bei $$L\left(\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}=1\cdot\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}_B$$ vorzurechnen?

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Wie kommt man auf 1 0                                      0  1  ?? 
L (E2) = 1  0               0    1   = WIE BEI E1 => 1, 1

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EDIT: Tipp: Nimm neue Matrizen jeweils links in eine Zeile, sonst ist nicht mehr richtig klar, was zusammengehört.

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Wie kommst du auf

Also von L (1 0                   1    0

                      0 0)      auf     0    1 ?

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" Also von L (1 0                   1    0

                      0 0)      auf     0    1 ?  " 

Identifiziere a = 1 und b= 0 und berechne a+b. Setze das Ergebnis an die richtige Stelle in der resultierenden Matrix. 

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Ich verliere langsam die Contenance. Was muss man wohl machen, um von der Definition von \(L\)

$$L\left(\begin{pmatrix}a&0\\ 0&b\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}a+b&0\\ 0&a+b\end{pmatrix}$$ auf $$L\left(\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$$ zu kommen? Doch wohl \(a=1\) und \(b=0\) setzen, oder? \(L\) ist eine Abbildung, da steckt man eine Matrix rein und es kommt auch wieder eine raus. Mehr faellt mir dazu nicht mehr ein.

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Würde nicht für E2 das gleiche rauskommen

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Und das sagt dir dann, dass L nicht injektiv und deshalb auch nicht invertierbar ist.

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Man kann doch invertiebrakeit zeigen wenn die Spalten lineaurunabhängig sind oder?

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Und wie kann man "Invertierbarkeit" widerlegen?

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Eine Matrix ist nicht invertierbar, wenn ihre Determinante verschwindet.

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Was heisst Determinante? Ich dachte es hat was mit lieneraunabhängikrit zu tun

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OK wenn du nicht weißt was die Determinante ist, kannst du auch die lineare Abhängigkeit der Zeilen bzw. Spalten untersuchen.

Wenn die Spalten linear abhängig sind, ist die Matrix nicht invertierbar.

Lu hat aber bereits begründet, dass für zwei versch. Argumente jeweils das selbe Bild entsteht.

Folglich ist die Abbildung L nicht injektiv und somit auch nicht bijektiv=invertierbar.

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Danke und wie bestimmt man die darstellende Matrix L_B

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Das hat Fakename doch schon hinreichend erklärt.

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Solö es heissen L (0  1

                                 0  1)

 für beide vektoren und das ist dann die darstellende matrix?

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Es steht bereits im ersten Kommentar, wie die darstellende Matrix aussieht. Die Methode zur Berechnung steht auch schon da: Bilder der Basiselemente bestimmen und deren Koordinatenvektoren spaltenweise in die Matrix schreiben.

Dir fehlen ersichtlich saemtliche Grundlagen zum Thema. Bevor Du Dir die nicht erarbeitet hast, kannst Du auch keine Aufgaben rechnen. Dazu gibt's Buecher zum Selbststudium und Vorlesungen an der Uni. Im Moment sind aber noch Semesterferien, was die Frage aufwirft: Wie kommst Du ueberhaupt zu Deinen Aufgaben und was soll das eigentlich werden?

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das habe ich mich auch schon gefragt ;)

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ich habe einen mathekurs vor dem studium. das problem ist das wir die aufgaben nicht so behandelt ahben auch nicht in den vorlesungen deswegen frage ich ja hier

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danke für eure hilfe!! könntet ihr mir vielleicht damit helfen also das gehört auch noch dazu:

Gegeben sei eine zweite basis C:= (1    0         (1    0

                                                                 0      1),      0     -1)  bestimmen sie die

basistranformationsmatrizen S_B-->C  bzw.  S_c-->B

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dafür brauch ich doch K_B ^{-1} und K_c ?

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Die Aufgaben, die Du hier postest, passen nicht zu Deinem Mathekurs. Das sind eher begleitende Uebungsaufgaben zu einer Vorlesung ueber Lineare Algebra. Siehst Du auch selber daran, dass Du sie nicht mal verstehst. Es ist natuerlich Deine Sache, aber die Beschaeftigung damit lohnt sich bei Deinen aktuellen Kenntnisstand für Dich ganz eindeutig nicht.

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Die Aufgabe habe ich aber vom mathe Kurs erhalten aber mit leichteren Aufgaben, als ob ich irgendwelche Aufgabe lösen die nichts mit dem zu tun haben was ich kann. Könntest du mir Tipps oder kurz sagen was ich zu tun habe, es tut mir echt leid wenn ich dir auf die nerven gehe.

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Dann müsstest du doch auch Aufzeichnungen von deinem Mathekurs besitzen, in denen Informationen zu solchen Aufgaben stehen. Meistens hast du aber gar keinen Ansatz.

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Mein Ansatz ist zuerst K_B ^-1 und K_c zu bestimmen und dann die Komposition davon. Wir hatten im Unterricht nicht solche Aufgaben 

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Kann mirjemand zeigen wie man K_B^-1 bestimmt?

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Ich habe gerade dim (Kern (L) ) bestimmt und erhalte 0 aber ist das nicht nicht ein Zeichen dass L invertiebarkeit ist.

dim (V)= dim (Kern (L)) + dim (Bild (L))

dim (Kern(L))= 2-2=0

Answer 1

a) L ist nicht invertierbar. Zum Beispiel weil dim D ≠ dim Bild(L).

b) \(L_B = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)

e) \(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\in \text{Kern}(L)\), also ist dim Kern(L) > 0