Kann mir jemand bei der Produktintegration helfen?

Question

Kann jemand bei diesen Aufgaben helfen ? Rechenwege wären super damit ich das Prinzip der Rechnungen verstehe und nachvollziehen kann. Danke

1.) ∫ (x² - 9 ) e^x dx2.) ∫ x e^x dx3.) ∫ x² e^x dx

Answer 1

∫  u • v '  = u • v - ∫ u ' • v       [ Formel der partiellen Integration (Produktintegration) ]

1) + 3)   (die Integrationskonstanten werden weggelassen und erst im Ergebnis ergänzt. )

 I = ∫ (x² - 9 ) e^x  dx            [ u = x² - 9  →  u ' = 2x   ,  v = e^x → v ' = e^x ]

=  (x² - 9) • e^x  -  ∫  2x • e^x dx   =    (x² - 9) • e^x  - 2 •  ∫  x • e^x dx     # 

und noch einmal Poduktintegration für das Restintegral  ( = Aufgabe 3):

∫  x • e^x dx              [ u = x   →  u ' = 1   ,  v = e^x → v ' = e^x ]        

=   x • e^x - ∫ 1 • e^x dx = x • e^x - e^x   

bei # einsetzen :

I = (x² - 9) • e^x  - 2 • (  x • e^x - e^x )  + c = e^x • (x² - 2·x - 7)  + c

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Nr. 2) verläuft völlig analog

Gruß Wolfgang