Partialbruchzerlegung Aufgabe e und f

Question

Hallo Leutz,

Habe folgendes Problem, undzwar soll ich die beiden Aufgabrn e und f in Partialbrüchr zerlegen. Habs nun mit der Abdeckregel gemacht und auch mit dem Koeffizientenvergleich. Nur komme ich nie bei e auf eine Konstante 3/8. Vielleicht kann mir jemand zeigen wie ich das lösen kann.

schob mal :)

Answer 1

Nur zu e) Man zerlegt den Nenner in (x-1)(x+1)(x+1)(x+1) und macht den Ansatz A/(x-1)+B/(x+1)³+C/(x+1)²+D/(x+1)

Durch Umformung auf den Hauptnenner und Koeffizientenvergleich erhält man A=-5/8, B=3/2, C=9/4 und D=-3/8.

Answer 2

siehe folgender Link:

Ich habe statt z  x geschrieben:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

(4+x^3)/((1-x^2)(1+x)^2)

Das Nennerpolynom wird in lineare und quadratische Faktoren faktorisiert, und gemeinsame Faktoren, die bei der folgenden Partialbruchzerlegung außer acht bleiben, werden ausgeklammert:

      x³ + 4
-    —————————————————
     (x + 1)³(x - 1)

Aus den Faktoren des Nenners ergeben sich die Nenner der einzelnen Ansatzbrüche. Faktoren, die mehrfach auftreten, werden in allen Potenzen bis zur vorliegenden angesetzt. Die jeweiligen Zähler werden bei linearen Nennern konstant und bei quadratischen Nennern linear angesetzt — unabhängig von etwaigen Potenzen:

A ——————— x + 1

+

B —————————— (x + 1)2

+

C —————————— (x + 1)3

+

D ——————— x - 1

Nun werden die Summanden durch Erweitern auf den (bekannten) Hauptnenner gebracht:

A(x³+x²-x-1) + B(x²-1) + C(x-1) + D(x³+3x²+3x+1)
————————————————————————————————————————————————————————
x⁴ + 2x³ - 2x - 1

Es wird ausmultipliziert und nach Potenzen von x sortiert:

(A + D)x³ + (A + B + 3D)x² + (-A + C + 3D)x + (-A - B - C + D)
——————————————————————————————————————————————————————————————————————
x⁴ + 2x³ - 2x - 1

Durch Koeffizientenvergleich zwischen dem Zähler mit den angesetzten Unbekannten und dem ursprünglichen Zähler-Polynom ergeben sich folgende Gleichungen:

Potenz von x		Ansatz mit den unbekannten Koeffizienten		gegebenes Zähler- polynom
x3:		A + D	=	1
x2:		A + B + 3D	=	0
x1:		- A + C + 3D	=	0
x0:		- A - B - C + D	=	4

Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen:

A = 3/8
B = -9/4
C = -3/2
D = 5/8

Der zu Beginn ausgeklammerte Faktor -1 wird wieder eingebaut:

-A = -3/8
-B = 9/4
-C = 3/2
-D = -5/8

Damit ergibt sich folgende Partialbruchzerlegung:

-x3 - 4 ——————————————————— x4 + 2x3 - 2x - 1

=

-3/8 ——————— x + 1

+

9/4 —————————— (x + 1)2

+

3/2 —————————— (x + 1)3

+

-5/8 ——————— x - 1