Bild der Matrix bestimmen

Question

Ich möchte das Bild der folgenden Matrix ermitteln:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Ich hab mich dabei an diese Anleitung gehalten:

Zitat:

1. Matrix transponieren
2. Zeilenstufenform (ZSF) mittels Gauß-Algorithmus erzeugen
3. Matrix transponieren
4. Lösung ablesen

Das hab ich dann auch gemacht:$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ZSF:$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} $$Dann wäre mein Bild, das ganze rücktransformiert:$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$Ist das ansatzweise richtig?$$ \left< \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \right>  $$

Answer 1

Du suchst das Bild der zu dieser Matrix gehörenden lin. Abbvon R³ nach R⁴.Da brauchst du in diesem Falle gar nicht zu rechnen;denn an dem Dreieck aus 0en in der Matrix untenrechts siehst du sofort:Die Spalten sind lin. unabh.
Also bilden die Spalten eine Basis des Bildes.

Comments

Ah danke mathef!

Ich habs mir fast schon gedacht, aus dem Grund den du genannt hast!

Answer 2

Deine Antwort ist völlig falsch. Durch das Transponieren hast Du höchsten eine "Spalten"-Stufenform bekommen, und normalerweise auch die Dimensionen völlig durcheinandergeworfen.

Nimm Deine Origonalmatrix. Mit der letzten Zeile kannst Du alle anderen normieren. Dann mit der vorletzten Zeile. etc. Wenn Du richtig arbeitest, bekommst Du die Einheitsmatrix un eine 0-Zeile.

Grüße,

M.B.