Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem für Differenzialgleichungssystem

Question

Hallo

ich habe die folgende Aufgabe

für a ) habe ich die Eigenwerte 2 und - 2 bekommen leider ist mir nicht klar wie ich das Fundamentalsystem bekommen kann.

Geben Sie jeweils ein reelles Fundamentalsystem für das Differentialgleichungsstem \( y^{\prime}=A y \) an, wobei

(a) \(  \)
$$ A=\left(\begin{array}{cc} {6} & {-8} \\ {4} & {-6} \end{array}\right) \quad\\ \text { (b) } \quad A=\left(\begin{array}{cc} {0} & {4} \\ {-1} & {4} \end{array}\right) $$
(c) \(  \)
$$ A=\left(\begin{array}{cc} {6} & {-10} \\ {4} & {-6} \end{array}\right) $$

 

Answer 1

die Eigenwerte stimmen.

Ansätze für das Fundamentalsystem:

http://www-math.upb.de/~mathkit/Inhalte/DGLen/data/manifest9/Lsg_linDGL_konstKoeff.html

--------->FS(e^{2x} ,e^{-2x})

Comments

leider verstehe ich diese Ansätze nicht.

Ich habe gedacht ,dass es e^2x und xe^{-2x}  sein soll. Also wann muss auch mit x multipliziert werden?

---

wenn es eine doppelte Nullstelle ist.

---

und für b ) bekomme ich EW = 2

bedeutet das, dass das Fundamentalsystem ist:

FS(e^2x, xe^{2x}) ?

---

das ist eine doppelte Nullstelle,

also Zeile b

FS(e^{2x} und x *e^{2x})

---

ja , Danke habe verstanden !

und bei c)

habe ich folgende Eigenwerte = +/- √2

und FS zu diesen Eigenwerten

FS = (e^{√x} , e^{-√x} )

---

c) ich habe

^{λ^2 +4=0}

^{λ_1,2 = ±i 2}

^{Zeile c)}

^{FS( sin(2x) , cos (2x))}

---

warum auch mit i multipliziert ? was ist i

und noch eine Frage : muss ich auch Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmen ?

und wie kann ich überprüfen , ob das FS zur Differentialgleichung passt ?

---

1.)warum auch mit i multipliziert ? was ist i

i ist die imaginäre Einheit

λ² +4=0 . diese Gleichung hat komplexe Lösungen.

λ²  = -4

λ =±√(-4)

λ =±√(-1)*√4

λ =±  2i

2.) muss ich auch Eigenvektoren zu den Eigenwerten bestimmen ?

->Ja

3.) wie kann ich überprüfen , ob das FS zur Differentialgleichung passt ?

Durch die Probe, Einsetzen in die Aufgabe

---

Aber wie sieht die diffgleichung wenn mit einer matrix form geschrieben ist?

Beispiel für a)

y' = 6y₁  - 8y₂ ?

---

Sie lautet:

y₁ ' = 6 y₁ -8y₂

---

und dann wenn ich einsetze bekomme

2e^2x = 6 e^2x - 8 e^2x
2e^2x = -2e^2x

aber das stimmt nicht

---

Du mußt noch die Eigenvektoren berechnen , Dann hast Du ein allg. Lösung.

Diese Lösung kannst Du dann einsetzen und prüfen.

---

Eigenvektor ist also die Werte die ich für y₁ und y₂ einsetze ?

---

siehe hier: