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Kann mir jemand schnell erklären was mit limh→0r(h)/|h| gemeint ist.

Ich habe bei einem Beweis den Differentialquotienten f'(z)=limh→0 (f(z+h)-f(z))/h umgeformt auf h*f'(z)+f(z)+r(h) = f(z+h). Wie genau komme ich auf das r(h)? Hab ich in der Analysis schon öfter im Differentialquotienten gesehen aber noch nie hinterfragt. Hoffe das weiß jemand!

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erkundige dich  nach der Weierstraßschen Zerlegungsformel.

Man kann auch schreiben

Δy/Δx=[f(z+h)-f(z)]/h=f'(z)+R(z,h) , R ist irgendeine Restfunktion

umgestellt

f(z+h)=f(z)+h*f'(z)+h*R(z,h)

h*R(z,h)=r(z,h)

R(z,h)=r(z,h)/h

f(z+h)=f(z)+h*f'(z)+r(z,h)

damit die Ableitung existiert, muss R(z,h) gegen 0 streben (für h gegen 0)

also lim h-->0 r(z,h)/h=0

r(z,h) muss also vom Grad her in h höher als 1 sein

Avatar von 37 k
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(f(z+h)-f(z))/h ist der Differenzenquotient. Sein Limes für h→0 ist der Diierentialquotient - auch "erste Ableitung" genannt. Solange h noch nicht 0 ist, gibt es eine Diffrerenz d(h) zwischen Differenzenquotient und erster Ableitung. Das sieht dann so aus (f(z+h)-f(z))/h - f '(z) = d(h) oder nach einiger Umformung 
. h*f '(z)+f(z)+h·d(h) = f(z+h).Für r(h) = h·d(h) ergibt sich h*f '(z)+f(z)+r(h) = f(z+h).

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Ahh ok. Soll also heißen die Differenz zwischen den Differenzialquotient und Differenzenquotient ist mein Rest r(h). Kommt der Rest dadurch zustande das h nur gegen 0 geht aber dieses tatsächlich nie erreicht?

"Soll also heißen die Differenz zwischen den Differenzialquotient und Differenzenquotient ist mein Rest r(h)."

Nicht so ganz. Ich hatte die Different d(h) genannt und festgelegt r(h) = h·d(h).

" Kommt der Rest dadurch zustande das h nur gegen 0 geht aber dieses tatsächlich nie erreicht?"

Nein. Der Rest ist nur so lange ungleich Null, wie h ungleich Null ist. Der Differentialquotient (die erste Ableitung) wird nur für h = 0 erreicht.

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