Polstelle nicht im Definitionsbereich

Question

ich habe bereits viel gelesen, aber nichts gefunden oder nicht interpretieren können.

Folgende rationale Funktion

f(x)=(x^3+192000)/(1600x) für x ungleich 0

hat eine Polstelle mit VZW bei x=0.

Wenn ich jetzt den Definitionsbereich einschränke auf x echt größer 0. Kann dann der Begriff Polstelle noch verwendet werden? (Die Polstelle liegt ja jetzt außerhalb des Definitionsbereichs.)

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Interessante Frage! Wenn ich mich recht erinnere, liegt eine Polstelle \(x_p\) von \(f\) dann vor, wenn es ein \(k \in \mathbb{N}\) gibt, so dass \(f(x)\cdot (x-x_p)^k\) stetig ergänzt werden kann. Das müsste hier der Fall sein. (Die exakte Definition habe ich aber nicht im Kopf!)

Answer 1

Eine Polstelle kann außerhalb des Definitionsbereiches liegen.

f(x) = 1/x hat eine Polstelle bei x = 0 und diese Stelle liegt ja auch außerhalb des Definitionsbereiches.

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Muss man eine polstelle nicht immer vom Definitionsbereich ausschließen?

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Muss man eine Polstelle nicht immer vom Definitionsbereich ausschließen?

Die Polstellen gehören niemals zum Definitionsbereich und die Antowrt hier hat mit der Frage eigentlich nichts zu tun.

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Hi "Gast az0815".

Mir ist in dem Zusammenhang noch etwas unklar.

Was ist, wenn ich eine Funktion definiere

f(x) = 1/x für x ≠ 0
f(x) = 0 für x = 0

Dann hätte ich doch trotzdem eine Polstelle an der Stelle 0 oder nicht?. Allerdings ist die Funktion ja jetzt trotzdem an der Stelle 0 definiert.

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Meiner Meinung nach (das heißt: Ich weiß es nicht!) ist das dann keine Polstelle. Ich räume aber gerne ein, dass Fragen wie diese nur dann zuverlässig beantwortet werden können, wenn man vorher festlegt, was eine Polstelle genau sein soll. Die Schulmathematik macht das m. E. nicht.

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Ich habe mal nachgesehen. Wikipedia spricht tatsächlich von einer einpunktigen Definitionslücke.

https://de.wikipedia.org/wiki/Polstelle

Also ist mein Beispiel nach der Definition von Wikipedia keine Polstelle.

Wobei ich das vom Verständnis her eigentlich nicht so schön finde ...

Aber jetzt kann man die Frage oben ja eindeutig beantworten

"Kann dann der Begriff Polstelle noch verwendet werden? (Die Polstelle liegt ja jetzt außerhalb des Definitionsbereichs.) "

Ja. Der Begriff Polstelle kann noch verwendet werden, weil eine Polstelle immer außerhalb des Definitionsbereiches liegt.

Im Gegenteil. Liegt die vermeintliche Polstelle im Definitionsbereich, spricht man nicht von solch einer :)

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Hallo ich bin der Ersteller der Frage,den Wikipedia Artikel habe ich auch gelesen. Mein Problem ist, dass es ja für die Umgebung um den Pol Werte geben muss. Ich kann ja aber keine Epsilon Umgebung um die Polstelle legen, da die negative Seite nicht definiert ist.

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Tja. Wenn du exakt die Definition von Wikipedia nimmst:

"In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden."

Dann darfst du dann nicht von einer Polstelle sprechen wenn du die Funktion nur auf R+ definierst.

Du hast ja keine einpunktige Definitionslücke. Hm.....

Vielleicht könntest du dann stattdessen eine Asymptote nehmen. Das sollte doch eventuell gehen.