Wie findet man einen Vektor der zu a und b orthogonal ist?

Question

Gesucht wird ein Vektor der zu a=2|1|0) und b=(1|-4|6) orthogonal ist.

Ich würde nun rechnen a*c=0 ^ b*c=0 mit c=(x|y|z)
 daraus folgt ein Gleichungssystem

I:  0=2x+y
II: 0=x-4y+6z

wie geht es nun weiter ?

Ich habe gelesen das man nun eine der Koordinaten durch ein Variable zb t ersetzen soll stimmt dies und wenn ja wie ?

Answer 1

Wähle eine der Variablen. Wähle eine Zahl. Ersetze die Variable durch die Zahl. Löse das LGS. Wenn du (0|0|0) als einzige Lösung bekommst, oder wenn das LGS dadurch nicht lösbar ist, dann wähle eine andere Zahl oder eine andere Variable.

> das man nun eine der Koordinaten durch ein Variable zb t ersetzen soll

Dadurch gewinnt man nichts. Ob das Ding z oder t heißt macht keinen Unterschied.

Wenn du alle Vektoren finden sollst, die zu a und b orthogonal sind, dann solltest du dich damit befassen, wie man unterbestimmte LGS löst.

Answer 2

Gesucht wird ein Vektor der zu a=2|1|0) und b=(1|-4|6) orthogonal ist.

[2,1,0] * [x,y,z] = 2x + y = 0

[1,-4,6] * [x,y,z] = x - 4y + 6z = 0

2II - I

12·z - 9·y = 0 --> y = 4/3·z

2x + (4/3·z) = 0 --> x = - 2/3·z

Lösungsvektor [- 2/3·z, 4/3·z, z]

Mit z = -3 also z.B.

Lösungsvektor [2, -4, -3]

Eine andere sehr elegante Lösungsmöglichkeit ist das Kreuzprodukt

[2, 1, 0] ⨯ [1, -4, 6] = [6, -12, -9] = 3*[2, -4, -3] 

Comments

Hierbei habe ich einfach das z als Unbekannte gelassen und nicht verändert. Zu kannst aber auch für z t schreiben. dann hättest du den Lösungsvektor [- 2/3·t, 4/3·t, t].

Das nimmt sich also nicht so viel.