Tangentialvektor der Lösungskurve x^2+y^2=2+t ; x^3-y^3=t

Question

Ich möchte den Tangentialvektor der Lösungskurve x²+y²=2+t, x³-y³=t an der Stelle t=0 berechnen und weiß nicht wirklich wie ich da vorgehen soll. Ich hab gelesen x,y nach t abzuleiten aber ich weiß nicht was das bewirken soll! Kann mir da bitte jemand helfen?

Kann mir bitte jemand folgendes Beispiel bestätigen:

Herr R versucht ein System von Differentialgleichungen zu lösen und  erhält für die Gesuchte Lösungsfunktionen x=x(t), y=y(t) die Beziehung x^2+y^2=2+t, x^3-y^3 = t

Die Startwerte sind x(0)=y(0)=1. R gelingt es nicht die Gleichungen nach x,y aufzulösen und will nun wissen ob für hinreichend kleine t  eine Lösung existiert. Weisen sie nach das eine solche Lösung existiert!

Ich habe nach t umgeformt und die Gleichungen gleich gesetzt. Dann hab ich gezeigt das für x,y=1 die Gleichung 0 wird. Die partiellen Ableitungen habe ich dann auf Stetigkeit untersucht und f_y(x,y)≠0 gezeigt. Stimmt das? Und hätte es nicht auch gereicht die Gleichung einfach umzuformen?

Comments

Hallo....

Ich möchte den Tangentialvektor der Lösungskurve x^2+y^2=2+t, x^3-y^3=t an der Stelle t=0 berechnen und weiß nicht wirklich wie ich da vorgehen soll. Ich hab gelesen x,y nach t abzuleiten aber ich weiß nicht was das bewirken soll! Kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

zum Tangentialraum:

Du musst die beiden Gleichungen impliziert differenzieren.

Zuerst bestimmt man die Punkte, die man untersuchen soll (t=0 einsetzen)

x^2+y^2=2

und x^3-y^3=0

---> (x,y)=(-1,-1) oder (1,1)

Die beiden Ausgangs Gleichungen können zusammengefasst werden auf die Form

x^2-x^3=2-y^2-y^3

Leite beide Seiten nach t ab (x'=dx/dt)

x'*2x-x'*3x^2=-y'*2y-y'*3y^2

Setze x=y=1 ( den Punkt den wir raus hatten)

x'=5y'

x'/5=y'

dy/dx=1/5

Der Tangentialraum ist eine Gerade mit Steigung 1/5 in durch (1,1)

Für x=y=-1 ergibt sich dy/dx =5

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Ok danke das ist mir jetzt klar, nur wie du auf dy/dx kommst hab ich nicht ganz verstanden. Wenn du x'/5 nach x ableitest bekommst du ja x''raus weil x ja auch von t abhängt. Hab ich die eigentliche Frage richtig beantwortet?

Danke auf alle Fälle für die Hilfe

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Es gilt y'/x'=dy/dt*(dt/dx)=dy/dx

Für den anderen Teil der Aufgabe kannst du den Satz über die implizite Funktion verwenden. Du müsstest bloß noch die partielle Ableitung nach x anschauen und zeigen, dass sie ungleich 0 im Punkt (1,1) ist.

Answer 2

x^2 + y^2 = 2 + t

x^3 - y^3 = t

Ich mache zunächst eine Gleichung daraus um das t zu eliminieren

x^2 + y^2 = 2 + (x^3 - y^3) --> F(x, y) = x^3 - x^2 - y^3 - y^2 + 2 = 0

f'(x,y) = - Fx / Fy = - (3·x^2 - 2·x) / (- 3·y^2 - 2·y) = x·(3·x - 2)/(y·(3·y + 2))

f'(1,1) = 1·(3·1 - 2)/(1·(3·1 + 2)) = 1/5

Tangente ist also

y = 1/5 * (x - 1) + 1

Comments

Ok so wie Der_Mathecoach das gerechnet hat versteh ich es. Du hast einfach streng nach der Formel impliziert differenziert und danach den Punkt eingesetzt.

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Richtig. Ich habe hier ganz einfach die Formel der impliziten Ableitung benutzt.

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Kannst du mir noch sagen ob ich die Ursprüngliche Frage richtig beantwortet habe?

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Ja. Du solltest da ja nur zeigen das es eine Lösung gibt ohne sie wirklich auszurechnen. Es langt daher wenn die Partiellen ableitungen nicht Null sind.