integral von (x²+a²)^0.5

Question

∫√a²+x²) dx = 0,5x*√(a²+x²) + 0,5a²*ln(x+√(a²+x²)

Das kann man ja so als Standardintegral definieren.

Aber welche Substitution muss man hier machen?

Ich habe mir das schon mal bei integralrechner.de vorrechnen lassen, aber dort wurde 3tan(x) substituiert und dann kommt irgendwie sec³(x) heraus. Damit kann ich ehrlich gesagt noch nichts anfangen.

Ich möchte da mit "gängigen" Funktion substituieren, also sin, cos, tan, arcusfunktionen, e- und ln- Funktionen und was es halt sonst noch so gibt.

Hat dazu jemand da eine Idee? Ausrechnen will ich es dann selber.

Comments

Nutze den Ansatz von Fakename, also x=sinh(t). Das ist am einfachsten.

Answer 1

Betrachte erstmal den Fall \(a=1\) und denke an den hyperbolischen Pythagoras \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\).

Answer 2

unter

www.dl . mb - zwei . de/Mathematik/Mathematik-Handbuch.pdf

findest Du mein sehr chaotisches Handbuch. Im Kapitel Integration durch Substitution findest Du eine große Liste von Standard-Substitutionen.

Grüße,

M.B.

Comments

Hi MatheMB,

ich finde dein Skript nicht chaotisch. Gute Arbeit! (+1) von mir

Answer 3

Hallo Simon,

bei diesem Integralrechner   (mit Rechenweg!)  habe ich schon alles für dich vorbereitet  :-)

Gruß Wolfgang

Comments

Hi Wolfgang,

áuf dieser Seite bin ich eben nicht schlauer geworden. Da landet man ja bei sec³(x) , was ich aber, sofern es überhaupt möglich ist, umgehen möchte :)

Geht das auch anders?

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sec(x) ist einfach 1/cos(x) ,  so kannst du sec vermeiden.

Aber die Substitution x = a * sinh(z) müsste auch weiterführen.

 Beachte cosh²(z) = 1 + sinh²(z)  und

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus