Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe.
$$ y'\quad =\quad -\frac { 2 }{ x } y+{ x }^{ 2 }+1,\quad \quad y(1)=\frac { 23 }{ 15 } .\\ $$ Geben Sie den maximalen Definitionsbereich an.
Meine Lösung:
$$\\ \frac { dy }{ dx } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } y+{ x }^{ 2 }+1\\ \frac { dy }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } +\frac { { x }^{ 2 } }{ y } +\frac { 1 }{ y } dx\\ \frac { dy }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } +\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ y } dx\\ dy\frac { 1 }{ y } -\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } dx\\ dy-\frac { { x }^{ 2 } }{ y } \quad =\quad -\frac { 2 }{ x } dx\\ dy\frac { 1 }{ y } \quad =\quad \frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } dx\\ \int _{ \frac { 23 }{ 15 } }^{ { y }_{ 1 } }{ \frac { 1 }{ y } } \quad =\quad \int _{ 1 }^{ { x }_{ 1 } }{ \frac { 2 }{ { x }^{ 3 } } } \\ { \left[ \ln { (y) } \right] }_{ \frac { 23 }{ 15 } }^{ { y }_{ 1 } }\quad =\quad { \left[ -\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \right] }_{ 0 }^{ x_{ 1 } }\\ \ln { ({ y }_{ 1 }) } -\ln { (\frac { 23 }{ 15 } ) } \quad =\quad -\frac { 1 }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } -(-\frac { 1 }{ 1 } )\\ \ln { ({ y }_{ 1 }) } \quad =\quad -\frac { 1 }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } +1+\ln { (\frac { 23 }{ 15 } ) } \\ { y }_{ 1 }\quad =\quad { e }^{ -\frac { 1 }{ { x }_{ 1 }^{ 2 } } }+e+\frac { 23 }{ 15 } $$
