Ist das eine geometrische Folge? (a1 =8 a3 =72 a5 = 648)

Question

Die Folge heißt:

a₁ = 8   a₃ = 72   a₅ = 648

Wenn ich jetzt für q = 3   nehme, könnte das Bildungsgesetz so lauten

a_n = 8 * 3ⁿ                  aber wenn ich dann für n = 2 einsetze, stimmt es doch gar nicht,

a₂ = 8 * 3²   = 72       denn  a₂  müsste doch 24 ergeben und noch nicht 72,    das ist doch erst a₃

_{Wie heißt das Bildungsgesetz richtig? Ist es eine geometrische Folge?}

Answer 1

Hi, du hast einen falschen Startwert. Richtig wäre
$$ a_n = \frac 83 \cdot 3^n $$und damit
$$ a_1 = \frac 83 \cdot 3^1 = 8 $$
$$ a_3 = \frac 83 \cdot 3^3 = 72 $$
$$ a_5 = \frac 83 \cdot 3^5 = 648. $$

Comments

Zu den Fragen:

Wie heißt das Bildungsgesetz richtig? Ist es eine geometrische Folge?

Es gibt also (mindestens) eine geometrische Folge, die die drei Bedingungen erfüllt. Natürlich gibt es noch etliche weitere – nicht geometrische – Folgen, die dies auch tun. Wir können also nicht sagen, \(a_n\) ist eine geometrische Folge, sondern nur, \(a_n\) kann eine solche sein.

Answer 2

Um herauszufinden, ob das eine geometrische Folge ist, musst du 72/8 und 648/72 rechnen. Wenn dabei beide Male das Gleiche herauskommt, dann ist das eine geometrische Folge und der Quotient ist gleichzeitig gfunden (hier q=9) Das Bildungsgesetz ist a_n=8·9ⁿ (mit n = 0 angefangen).

Comments

wenn ich dann für n= 2 einsetze habe ich doch bei

a_n = 8 *9ⁿ

a₂ = 8 * 9²        = 729 ???

obwohl a₂ doch eigentlich 24 ergeben müsste...((a₁ = 8    (a₂ =24)     a₃ = 72))

Was mache ich falsch? Ich bin noch weit entfernt vom Verstehen...

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Ich hatte dazu geschrieben, dass man mit n = 0 beginnen soll. Dann wäre a₀ das erste Glied und a₂ das dritte.

Wenn du lieber mit n=1 beginnst, dann heißt das Bildungsgesetz a_n =8·9^(n-1).

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Hallo Roland.

a₁ = 8   a₃ = 72   a₅ = 648 sind keine Nachbarglieder.

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Ja, das habe ich übersehen. Tut mir leid.

Answer 3

Du kannst für q auch q = -3 nehmen.

Dann gibt es

a_(n) = 8/(-3) * (-3)^n

Das kannst du auch schreiben als

a_(n) = 8 * (-3)^{n-1}

(Anmerkung q = +3 ist natürlich auch richtig. Dann a_(n) = 8 * 3^{n-1}

Comments

(...) Das kannst du auch schreiben als (...)

Das kann man nicht.

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Allerdings ist die Idee durchaus interessant, es wäre etwa

$$ a_n = -\frac 83 \cdot \left(-3\right)^n = 8 \cdot \left(-3\right)^{n-1} $$möglich.