Sry, wegen der langen Frage. Ich wollte meine Fragen nur möglichst genau formulieren und ich verstehe dieses Beispiel einfach nicht. Hoffe, mich nicht vertippt zu haben. Ich wäre sehr dankbar für eine Antwort :)
$$ \lim_{x\to c}f(x) = L ~~und~~ \lim_{x\to c}g(x)=M ~~,M\neq 0\\\lim_{x\to c}(f(x)\cdot g(x))=L\cdot M$$
Die Produktregel habe ich bereits bewiesen, auf ihr basiert auch der nächste Beweis, denn es gilt:
$$\lim_{x\to c}\frac {f(x) }{ g(x)}=\lim_{x\to c}(f(x)\cdot \frac {1 }{ g(x)})=L\cdot \frac { 1 }{ M } =\frac { L}{ M }$$
Dafür muss ich aber jetzt beweisen, dass gilt:
$$ *\lim_{x\to c}\frac {1 }{ g(x)} =\frac {1 }{ M} $$
Hier der Beweis nach meinem Buch(etwas umformuliert):
Sei eps. >0 gegeben. Um * zu beweisen, muss gezeigt werden, dass es ein delta>0 gibt, sodass für alle x gilt:
$$ 0<|x-c|<\delta \rightarrow|\frac {1 }{ g(x)} -\frac {1 }{ M}| <\epsilon$$
Wegen |M| > 0 existiert eine positive Zahl delta_1, sodass für alle x gilt:
$$ 0<|x-c|<\delta_1 \rightarrow| g(x) - M| <\frac { M }{ 2 } ~~A.6$$ Diese Stelle verstehe ich nicht, wieso soll nur weil |M|>0 gilt, eine Zahl delta_1 existieren, sodass für alle x mit geringerem Abstand von c gilt, dass |g(x)-M|<M/2 ist, warum trifft es zu?
Nun wird die Ungleichung ||g(x)|-|M||=≤|g(x)-M| verwendet und mit obiger Ungleichung kombiniert, damit gilt für alle 1<|x-c|<delta_1:
$$ ||g(x)| - |M|| <\frac { |M| }{ 2}\leftrightarrow\\-\frac { |M| }{ 2}<||g(x)| - |M|| <\frac { |M| }{ 2}\leftrightarrow\\\frac { 1 }{ g(x)}<\frac { 2 }{|M|}<\frac {3}{ g(x)} ~~A.7 $$
Daher folgt aus 1<|x-c|<delta_1:
$$ |\frac {1 }{ g(x)} -\frac {1 }{ M}|=|\frac {M-g(x) }{M\cdot g(x)}| \\\leq \frac {1 }{ |M|} \frac {1 }{|g(x)|}\cdot |M-g(x)|\\< \frac {1 }{ |M|} \frac {2 }{|M|}\cdot |M-g(x)| ~~A.8 $$ Jetzt kommt die Schlussfolgerung...
Wegen (1/2)*|M|ε>0 existiert eine Zahl delta_2>0, sodass für alle x gilt:
$$ 0<|x-c|<\delta_2 \rightarrow |M-g(x)|<(\epsilon/2)\cdot |M|^2 ~~A.9 $$ Wie kommen sie auf (1/2)*|M|ε>0?
...wähl man delta kleiner als delta_1 und delta_2,so gelten die Forderungen A.8 und A.9 und somit gilt:
$$ 0<|x-c|<\delta \rightarrow|\frac {1 }{ g(x)} -\frac {1 }{ M}| <\epsilon $$ Warum ist Forderung A.9 relevant, generell verstehe ich die Schlussfolgerung nicht wirklich...
