die eigentliche Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht in der Anwendung des erweiterten euklidischen Algorithmus' im Ring der gaußschen Zahlen.
Wikipedia gibt einen Lösungsvorschlag für das Lösen simultaner Kongruenzen: https://de.wikipedia.org/wiki/Chinesischer_Restsatz#Finden_einer_L.C3.B6sung.
Es ist \( m_1 = 3 \), \( m_2 = 1+i \) und \( m_3 = 1+2i \). Mit \( M = m_1 m_2 m_3 \) ist \( M_1 = M/m_1 = m_2 m_3 = 3i - 1 \), \( M_2 = 3 + 6i \) und \( M_3 = 3 + 3i \).
Um eine spezielle Lösung \( x \) des Problems zu finden, gilt es, Zahlen \( r_i \) und \( s_i \) zu finden, sodass \( r_i m_i + s_i M_i = 1 \) für \( i = 1, \dots, 3 \). Die Lösungsgesamtheit ergibt sich dann aus \( x + \mathbb{Z}[i]M \).
Diese Zahlen lassen sich mit Hilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus' finden, der in \( \mathbb{Z}[i] \) angewendet werden muss.
Es ergibt sich (ohne Gewissheit der Eindeutigkeit) \( r_1 = i \), \( s_1 = -1 \), \( r_2 = 5+i \), \( s_2 = -1 \), \( r_3 = 2i - 1 \) und \( s_3 = 1 - i \).
Mit \( a_1 = i + 1 \), \( a_2 = 1 \) und \( a_3 = 2 \) ergibt sich
\( x = \sum_{i=1}^{3} a_i s_i M_i = \dots = 13 - 8i \).
Mit \( M = 9i - 3 \) lässt sich eine "minimalere" Lösung (minimaler im Sinne von einem kleineren Betrag) \( x' = x + M \) finden:
\( x' = 10 + i \).
Die Lösungsmenge ist nun
\( x' + \mathbb{Z}[i]M = 10 + i + \mathbb{Z}[i](9i - 3) \).
Der erweiterte euklidische Algorithmus in \( \mathbb{Z}[i] \) ist ein Thema für sich, weshalb ich den (nicht-eindeutigen) Lösungsweg, der zu den \( r_i \) und \( s_i \) für \( i = 1, \dots, 3 \) führt, gar nicht erst angegeben habe.
Für eine Division mit Rest in \( \mathbb{Z}[i] \) kann man eine Zahl als durch eine andere (mit Rest) teilbar ansehen, wenn ihr Absolutbetrag größer als der der anderen ist.
Das Ergebnis der Division in \( \mathbb{C} \) kann geeignet auf \( \mathbb{Z}[i] \) gerundet werden, was eine Division mit Rest in \( \mathbb{Z}[i] \) definiert, die aufgrund der (bedingten) Freiheit beim Runden im Allgemeinen nicht eindeutig ist.
Mister
