Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionenscharen

Question

Bestimmen Sie die Schnittpunkte von

fa (x) = a - (1/a)x²

ga (x) = a³ - ax²

in Abhängigkeit von a.

EDIT: Klammer bei f ergänzt und gemäss Kommentar vom 22.9 

Comments

Da ist ein kleiner Fehler unterlaufen. Es sollte heissen:

fa (x) = a - (1/a)x²

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Ich hatte die Frage neulich schon mal, aber mein Mathelehrer ist auf ein anderes Ergebnis gekommen als ein Mitglied hier. Kann bitte jemand die Aufgabe anschauen und "entscheiden" welche Antwort richtig ist?

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Scharen:

fa (x) = a - 1/ax²

ga (x) = a³ - ax²

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Kannst du erst mal die neue Frage im Kommentar präzisieren?

Willst du für gegebenes a jeweils ein Element von g mit einem von f schneiden, oder sind f und g 2 verschiedene Aufgaben?

Steht bei f nur das a unter dem Bruchstrich?

Und dann: Nachfragen bitte immer bei der Originalfrage stellen. (-> Schreibregeln)

Die bleibt ja stehen (allenfalls mit einer falschen Antwort) und erscheint dann immer wieder bei den "ähnlichen Fragen" oder über die Suche.

Ergebnisse sind wertlos ohne einen Rechenweg und eine Probe.

EDIT:

https://www.mathelounge.de/377830/bestimmen-sie-die-schnittpunkte-der-funktionenscharen

mathef hat "für gegebenes a jeweils ein Element von g mit einem von f geschnitten" 

Answer 1

a - (1/a)x²   =   a³ - ax² 

a -  a³     =     (1/a)x²   - ax²   =    ( (1/a)   - a) *  x²  

Damit du durch  ( (1/a)   - a) teilen kannst, muss das ungleich 0sein.   Das wäre nur bei a=1 oder a=-1 nicht der Fall.

also für  a≠1 und a≠-1   ist es

x² = (  a -  a³   ) / (   (1/a)   - a)  = (   a^2 * ( 1 - a^2 ) ) / ( 1 - a^2 )  =  a^2 

denn 1 - a^2 ist ja ungleich 0.


Dann ist y =  a³ - a *(a² )  =   0  also SP ( ±a ;   0  ).

Comments

Nur noch eine kurze Bruchfrage. Ich habe

(a² - a⁴ ) / 1 - a²

aus meinem ersten Versuch an der Aufgabe, was ja das gleiche ist wie

(a² * (1 - a²)) / 1 - a²

Nur wie sähe es mit dem Kürzen aus? (Anfängerfrage) Denn ich weiß nicht ob ich in einer Prüfung auf das ausklammern von "a²" kommen würde.

a² gekürzt mit (-a²) = 0 ?

(-a⁴) gekürzt mit (-a²) = a²

also hätte ich dann:

(0 + a²) / 1 .

Ist das der richtige Rechenweg oder Zufall?

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(a² * (1 - a²)) / 1 - a²

Nur wie sähe es mit dem Kürzen aus? (Anfängerfrage)

a² gekürzt mit (-a²) = 0 ?

(-a⁴) gekürzt mit (a²) = a²

also hätte ich dann:

(0 + a²) / 1 .

Ist das der richtige Rechenweg oder Zufall?

Eher Zufall. Kürzen kannst du nur Faktoren und nicht

Summanden. Also wäre zu machen

(a² * (1 - a²)) / 1 - a²
= (a² * (1 - a²)) /   ( 1*(1 - a²) ) Die roten Faktoren kürzen.

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@mathef: Ich vermute, du hattest in deiner Antwort noch ein Quadrat vergessen. 

x^2 = (  a -  a³   ) / (   (1/a)   - a)  = (   a² * ( 1 - a² ) ) / ( 1 - a² )  =  a²  

EDIT: erledigt. Vgl. Kommentar von mathef unten. 

Answer 2

fa(x) = ga(x)

a - 1/a·x^2 = a^3 - a·x^2 --> a ≠ 0

a^2 - x^2 = a^4 - a^2·x^2

a^2·x^2 - x^2 = a^4 - a^2

(a^2 - 1)·x^2 = a^2·(a^2 - 1) --> für a = ± 1 sind die Graphen identisch.

x^2 = a^2

x = ± a

fa(a) = 0 --> S(± a | 0)

Comments

Ok danke. Genau das war auch unsere Lösung in der Schule.

Answer 3

Ich nehme an, dass bei f_a keine Klammer fehlt. Dann liegen die Schnittpunkte an den Stellen x_1/2 = ±a.