Gleichung lösen mit e- Funktion: e^x+2e^{-x} =3

Question

Lösen Sie folgende Gleichung:

e^x+2e^{-x} =3

Laut Lösungsbogen sind die Lösungen x₁=ln(2) und x₂=0

,Hannes

Comments

Hier eine ähnliche Aufgabe: https://www.mathelounge.de/379034/wie-lose-ich-folgende-gleichung-e-2x-2e-x-1

Schau mal, ob du ohne auf die Antworten zu schielen auf die Lösungsmenge der Gleichung e^2x-2e^x=-1 kommst.

Answer 1

Hi,

e^x + 2e^{-x} = 3    |*e^x

e^{2x} + 2 = 3e^x

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0   |Substiution

u^2 - 3u + 2 = 0           |pq-Formel

u_(1) = 2 und u_(2) = 1

Dann resubtituieren

e^{x_(1)} = 2

x_(1) = ln(2)

und

e^{x_(2)} = 1

x_(1) = ln(1) = 0

Grüße

Comments

DH.

Ich würde aber eventuell schon etwas eher substituieren

e^x + 2·e^{-x} = 3

e^x + 2/e^x = 3

Subst. z = e^x

z + 2/z = 3

Nun ist das eine einfache Bruchgleichung. Also mit dem Nenner multiplizieren und lösen. Dann resubstituieren..

Letztendlich kommt man auf x = LN(2) ∨ x = 0 als reelle Lösungen, wie Unknown prima vorgerechnet hat.

Answer 2

Setze e^x = z. Dann erhältst du z+2/z=3. Nach etwas Umformung ist dies eine quadratische Gleichung z²-3z+2 = 0 mit den Lösungen z = 1 und  z=2. Nach Resubstitution ist  e^x = 1 oder x = 0 und e^x = 2 oder x = ln2.