Keine Stelle darf höher als 50° gegen die Horizontale sein

Question

Wie übetprüfe ich das? Aufgabe b)
C) kann ich deshalb auch nicht machen :(

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Sorry, 3 b).Aufg 2 und 4 habe ich schon...

Answer 1

a)

Ansatz

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Bedingungen in mathematischer Kurzform

f(0) = 4
f'(0) = 0
f(4) = 0
f'(4) = 0

Wir kommen auf die Gleichungen

d = 4
c = 0
64a + 16b + 4c + d = 0
48a + 8b + c = 0

Daraus erhalten wir die Lösung

f(x) = 0,125·x^3 - 0,75·x^2 + 4
f'(x) = 0,375·x² - 1,5·x

b)

Wendestelle ist symmetrisch zwischen den Extremstellen bei x = 2

f'(2) = -3/2 --> arctan(-3/2) = -56.31°

Damit ist die Rutsche im Wendepunkt zu steil.

c)

Die Rutsche hat jetzt im Wendepunkt die Steigung -1.5. Sie darf aber nur die Steigung -1 haben. Damit brauche ich die Rutsche einfach nur um 1.5 in horizontale Richtung strecken.

f(x) = 0,125·(x/1.5)^3 - 0,75·(x/1.5)^2 + 4 = x^3/27 - x^2/3 + 4

Prüfe jetzt mal wie groß jetzt die neue Rutsche.

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Vielen Dank erstmal! Wenn ich 0 einsetze kommt immer noch 4 heraus..

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Ja die Rutsche sollte ja auch weiterhin 4 m hoch sein.

Answer 2

Ansatz (1) f(x) = ax³+bx²+cx+d und damit (2) f '(x)= 3ax²+2bx+c

(0/4) ist Hochpunkt. Einsetzen in (1) ergibt d=4. Einsetzen in (2) ergibt c=0

Zwischenlösung (3) f(x) = ax³+bx²+4 und damit (4) f '(x)= 3ax²+2bx

(4/0) ist Tiefpunkt. Einsetzen in (3) 0=64a+16b+4 oder (i) 0=16a+4b+1. Einsetzen in (4) ergibt (ii) 0= 48a+8b.

(i) ·3 ergibt (iv) -3=48a+12b (ii)-(iv) ergibt 3= -4b oder b=-3/4. Dann ist a=1/8 und damit f(x) = x³/8-3x²/4+4.

Die steilste Stelle liegt im Wendepunkt (2/2). Dort ist die Steigung -3/2 oder -56°, also zu steil.