Integral von x/(4x^2 -8) *dx 2 verschiedene Lösungen

Question

Ich habe gerade x / (4x² - 8) nach x integriert und einmal u = 4x² - 8 gesetzt dann bekomme ich 1/8 ln[4x² -8] +c raus.  

Wenn ich allerdings bei 4x² - 8 die vier ausklammer und dann u = x² -2 rechne bekomme ich 1/8 ln[x² -2] +c raus.

Zur Probe habe ich in beide Gleichungen Werte für x eingesetzt und jeweils andere Ergebmisse raus bekommen. Wie kann das sein?

Gruß

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Ok, dann vielen dank für eure Hilfe an alle!

Noch einen schönen Abend!

Answer 1

$$\int {x \over 4x^2-8} = {1\over8} \int {8x \over 4x^2-8} = {1\over8}\ln\left|4x^2-8\right|+C$$

oder

$$\int {x \over 4x^2-8} = {1\over4}*{1\over2} \int {2x \over x^2-2} = {1\over8}\ln\left|x^2-2\right|+D$$

Du hast andere Konstanten, wegen

$$\ln\left|4x^2-8\right| = \ln 4+\ln\left|x^2-2\right| = \ln\left|x^2-2\right|+E$$

(Und ich habe es schon oft kritisiert:

Wenn Du ein Integral ordentlich als \(\int_{x_0}^x f(t) dt\) rechnen würdest, dann (a) würde dies nicht passieren, bzw. (b) wäre Dein Fehler sofort aufgefallen.)

Grüße,

M.B.

Unknown: Passe Deine Sprache endlich mal dem gewöhnlichen Gebrauch an!

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Hallo MB,

Mit deiner letzten Anmerkung hast du nicht unrecht!

Aber die Fragesteller sind an die Vorgehensweise mit dem unbestimmten Integral gewöhnt und wären anders wohl sehr verwirrt. (Sie müssen halt dann den Überblick bei den Integrationskonstanten behalten)

Bei DGL führt das unbestimmte Integral aber hier sogar in den Antworten öfter zu Ungenauigkeiten bei der allgemeinen Lösung.

(P.S.: Nimm dir Unknowns "gelbe Karte" zu Herzen! :-))

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hi,

es gibt unendlich viele Stammfunktionen. Du hast hier zwei verschiedene Stammfunktionen angegeben, die aber durch das +c wieder gleich gemacht werden können.

Du kannst ja ln(4*a(x)) = ln(4) + ln(a(x)) schreiben und dann ist ln(4) konstant und kann mit c verrechnet werden.

Im obigen Beispiel hast Du also zwei unterschiedliche c! :)

Grüße

Answer 3

1/8 *LN(| x² - 2|) + c   ist richtig. 

1/8 ln[ |4x² -8| ] + c₂ = 1/8 * ln( 4 * |(x² - 2)| ) + c₂     (Edit: 4 statt 2)

= 1/8 * ( ln(|x²-2|) + ln(4) ) + c₂ 

= 1/8 *  ln(|x²-2|)  + 1/8 * ln(4) + c₂   , das ist nur eine andere Konstante c

Gruß Wolfgang

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Wie der Fragesteller schon richtig angemerkt hatte, ist 4 auszuklammern :).

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Stimmt, danke für den Hinweis. Ein lästiger Tippfehler setzt sich halt fort. Habe es korrigiert.