Integration. Aufgabe 1f) markierte Flächenstücke berechnen.

Question

Kann sie mir jemand vorrechnen, ich komme da nämlich nicht weiter :/ Nr.1f)

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Vom Duplikat:

Titel: Flächenberechnung Integralrechnung

Stichworte: integralrechnung,flächenberechnung,integral,flächeninhalt

Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/381055/integration-aufgabe-1f-markierte-flachenstucke-berechnen

Aufgabe wurde bereits von einem anderen User eingestellt, mir erschließt sich die Antwort jedoch nicht zufriedenstellend ...

Funktion: f(x) = ax^3 + bx

Die Aufgabe ist es, die Fläche einer bestimmten Funktion durch die Integralrechnung zu bestimmen, in dem man die Gesamtfläche in kleinere Flächen abhängig von den Nullstellen aufteilt. Soweit verstehe ich das auch, aber komme mit den Parameter überhaupt nicht zurecht.

Muss ich a und b zuerst bestimmen, wenn ja wie?

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Aufgabe wurde bereits von einem anderen User eingestellt, mir erschließt sich die Antwort jedoch nicht zufriedenstellend ...



Funktion: f(x) = ax3 + bx



Die Aufgabe ist es, die Fläche einer bestimmten Funktion durch die Integralrechnung zu bestimmen, in dem man die Gesamtfläche in kleinere Flächen abhängig von den Nullstellen aufteilt. Soweit verstehe ich das auch, aber komme mit den Parameter überhaupt nicht zurecht.

Muss ich a und b zuerst bestimmen, wenn ja wie?

Answer 1

-√3, √3 sind Nullstellen. 0 übrigens auch (steht vielleicht im Schatten).

f(x) = a * x * (x-√3)*(x+√3) = a*x*(x^2 -3) = a(x^3 - 3x) 

nun gilt f(1) = -1

Also

-1 = a * (1 - 3) 

-1 = -2a

1/2 = a

Nun hast du f

f(x) = 1/2 (x^3 - 3x) 

Rechne das mal nach und integriere dann. 

Zur Kontrolle:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%7C+1%2F2+(x%5E3+-+3x)+%7C+dx+from+-%E2%88%9A3+to+1

A_{gelb bei f insgesamt)} = 7/4 = 1.75

Answer 2

Aufgabe wurde bereits von einem anderen User eingestellt, mir erschließt sich die Antwort jedoch nicht zufriedenstellend ...



Funktion: f(x) = ax3 + bx



Die Aufgabe ist es, die Fläche einer bestimmten Funktion durch die Integralrechnung zu bestimmen, in dem man die Gesamtfläche in kleinere Flächen abhängig von den Nullstellen aufteilt. Soweit verstehe ich das auch, aber komme mit den Parameter überhaupt nicht zurecht.

Muss ich a und b zuerst bestimmen, wenn ja wie?

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Aus dem Gleichungssystem

a(- 1)³ + b(- 1) = 1

a(\( \sqrt{3} \))³ + b\( \sqrt{3} \) = 0

ergibt sich die Lösung

\( a=\frac{1}{2}, \quad b=-\frac{3}{2} \)

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Vielen Dank schon einmal, stehe aber immer noch auf dem Schlauch beim Gleichungssystem. Könnten Sie mir bitte erläutern, wie das Gleichungssystem letzen Endes gelöst wird?

Grüße

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Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten, z.B. das Einsetzungsverfahren:

1. Gleichung

\(a(- 1)^3 + b(- 1) = 1\\ -a-b=1\\-b=1+a\\b=-1-a\)

2. Gleichung

\(a(\sqrt{3})^3+b\sqrt{3}=0\\3a\sqrt{3}+b\sqrt{3}=0\\ \sqrt{3}(3a+b)=0\)

-1 - a für b in die 2. Gleichung eingesetzt ergibt

\(\sqrt{3}\cdot(3a-1-a)=0\\ \sqrt{3}\cdot(2a-1)=0\)

Satz vom Nullprodukt anwenden:

\(\sqrt{3}\neq0\\2a-1=0\\ 2a=1\\ a=\frac{1}{2}\)

In die 1. Gleichung einsetzen

\(b=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

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Besten Dank!!!