Anstieg von Funktionen berechnen mit f'(z)=lim f(z+h)-f(z)/h h->0

Question

Berechne die Anstiege folgender Funktionen an z=0;1,5;3;4,5;6;7,5                           

Mit f'(z)=lim  f(z+h)-f(z)/h             h->0

Comments

EDIT: Gib eine konkrete Funktion an, damit man etwas rechnen kann.

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auf meinem Arbeitsblatt gibt es aber irgw keine

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IIch bin mir nicht sicher ob es diese funktionsgleichungen sind mit denen Man den diffenerenzenquotienten bestimmen soll, aber könnte man mit diesen Werten die ableitungsfunktion bestimmen?

a) f(x)= -1/2x+3

b) f(x)= 1/10x^2-3+2

c) f(x)= 0,7

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Ja. Das könnte man.

Nur mal zum sicherstellen, dass du absichtlich keine Klammern gesetzt hast. Unter dem Bruchstrich sind jeweils nur die Zahlen 2 und 10 und bei c) ist kein x dabei (?)

a) f(x)= -1/2 x + 3

b) f(x)= 1/10 x² - 3 + 2

c) f(x)= 0,7

Interessant wäre auch zu wissen, warum du in der Fragestellung z und hier nun x hast.

Hier meinst du beim Bruch eigentlich:

f'(z)=lim  ( f(z+h)-f(z) ) / h             h->0

Sonst kommt nicht der Anstieg heraus. 

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Ja bei 0,7 gibt es kein x. Und ich hab das da so notiert weil es aufm Blatt so stand und eben beim ersten z verwendet wurde aber beim andern x. Mein Lehrer hat gesagt dass wir das x dann also statt des z hinschreiben müssen weil die Funktion das ja so vorgibt oder?

Und das wegen der Klammer, also bis jetzt hab ich noch nie gelernt so eine Klammer außen zu setzen deshalb Dachte ich, dass das eig so sein muss

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Klammerungen sind nie verkehrt.

Woher soll man denn wissen, dass hier nicht alles nach dem Bruchstrich unter dem Bruchstrich steht.

a) f(x)= -1/(2x+3)

b) f(x)= 1/(10x²-3+2)

Wenn du einen Zähler, der zusammengehört auch nicht eingeklammert hast?

Solange die Regel Punkt- vor Strichrechnung befolgt werden kann, musst du nicht unbedingt Klammern setzen, sonst schon.

EDIT: Mathecoach hat dir inzwischen a) allgemeingültig vorgerechnet für

 f(x)= -1/2 x + 3

Sein Resultat gilt an allen Stellen z, die vorgegeben sind.

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Es ist natürlich keine Garantie aber ich habe noch keinen Schüler bei 1/(10x^2 - 3x + 2) den Differenzialquotienten anwenden sehen. Das artet auch schon richtig in Arbeit aus, weshalb eigentlich der Differenzialquotient am anfang nur benutzt wird grundlegende Funktionen abzuleiten und dann die Ableitungsregeln herzuleiten.

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Hier noch ein weiteres vorgerechnetes Beispiel mit einer andern Funktion

https://www.mathelounge.de/7766/berechnung-der-ableitung-durch-h-methode

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Also heißt das dass für a) bei allen z-werten -0,5 Hin muss ?

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Ja genau.

Du erinnerst dich sicher daran, dass a) eine Geradengleichung ist. Die steigt überall gleich stark und du kannst die Steigung eigentlich schon an der Geradengleichung ablesen.

Nun hat dir Mathecoach das noch mit der h-Methode nachgerechnet.

Answer 1

> f'(z)=lim_h→0  (f(z+h)-f(z))/h

Setzte den jeweiligen Wert für z ein. Ab da hängt der Rechenweg von der konkreten Funktion ab.

Comments

Warum?

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" an "  nicht überlesen !

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@Gast hj2144 Die Qualität der Frage hat vermuten lassen, dass das "an" zufällig hereingerutscht ist. Ich habe meine Antwort an die neuen Erkentnisse angepasst.

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Das ,,an" war richtig so

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Kann man hier denn keine ableitungsfunktion irgw bestimmen anstatt für jeden Wert z den Grenzwert des differenzenquotienten zu bestimmen?

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"Ableitung" und "Grenzwert des differenzenquotienten" ist das gleiche.

Deshalb darf man Ableitungsregeln verwenden um den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bestimmen. Solange die konkrete Funktion aber nicht bekannt ist, laufen jegliche weitere Bemühungen ins Leere.

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Und wie soll man das dann ausrechnen wenn gar keine Funktion gegeben ist ?

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Die Antwort darauf findest du in dem Satz "Solange die konkrete Funktion aber nicht bekannt ist, laufen jegliche weitere Bemühungen ins Leere."

Die Aufgabenstellung "Berechne die Anstiege folgender Funktionen ..." impliziert aber, dass tatsächlich Funktionen gegeben sind.

Answer 2

f(x)= -1/2*x + 3 = -0.5*x + 3

lim (h-->0) (f(z+h) - f(z)) / h

lim (h-->0) ((-0.5*(z+h) + 3) - (-0.5*z + 3)) / h

lim (h-->0) (-0.5*z - 0.5*h + 3 + 0.5*z - 3) / h

lim (h-->0) (- 0.5*h) / h

lim (h-->0) -0.5 = -0.5

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Und was bedeutet das? kann ich damit die z-werte bestimmen?

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f(x) = 1/10·x^2 - 3·x + 2 = 0.1·x^2 - 3·x + 2

Bei der Funktion muss hinter der -3 wohl ein x stehen. Sonst macht das wenig Sinn.

lim (h-->0) (f(z+h) - f(z)) / h

lim (h-->0) ((0.1·(z+h)^2 - 3·(z+h) + 2) - (0.1·z^2 - 3·z + 2)) / h

lim (h-->0) (0.1·(z^2 + 2·z·h + h^2) - 3·z - 3·h) + 2 - 0.1·z^2 + 3·z - 2) / h

lim (h-->0) (0.1·z^2 + 0.2·z·h + 0.1·h^2 - 3·z - 3·h + 2 - 0.1·z^2 + 3·z - 2) / h

lim (h-->0) (0.2·z·h + 0.1·h^2 - 3·h) / h

lim (h-->0) 0.2·z + 0.1·h - 3 = 0.2·z - 3

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Bei mir steht aufm Blatt aber kein x. Also hat der Lehrer es falsch?

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Und was bedeutet das? kann ich damit die z-werte bestimmen? 

Du meinst sicher das richtige hast es nur falsch fomuliert. Du bistimmst natürlich keine z-Werte, denn die sind von der Aufgabe vorgegeben. Du bestimmst damit allgemein die Steigung bzw. momentane Änderungsrate an den genannten Stellen für z.

Ich habe nur die allgemeine Formel hergeleitet. Dort brauchst du nur noch das z einsetzen und ausrechnen. 

Eigentlich ist der Lehrer wohl etwas übergeschnappt hier für z gleich 6 Werte anzugeben. Ich hoffe er erwartet nicht ernsthaft das der Schüler das für alle Werte extra macht. Es langt denke ich das einmal allgemein für z zu machen und am Ende immer für z einzusetzen. Obwohl fürs einsetzen nachher wohl sicher 2 Werte gelangt hätten.

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Ja also er hat eben hingeschrieben dass man entweder diesen langen aufwendigen Weg gehen kann oder dass man, wie Sie es ja denk ich mal gemacht haben, für ein unbekanntes/beliebiges z die ableitungsfunktion bestimmt haben und dann diese ableitungsfunktion an den Werten z= 0 usw  auswerten ?

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Muss ich also "einfach" das gleiche was Sie gemacht haben bei b) und c) machen und dann wieder die Werte z nacheinander einsetzen und dann hab ichs?

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Genau. Dann hast du es. und dann kannst du ja mal die einfachste aufgabe c) alleine probieren. tipp es sollte immer eine steigung von 0 heraus kommen, egal für welches z.

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Du meinst der Lehrer hat hingeschrieben

f(x) = 1/10·x^2 - 3 + 2

Das kann er natürlich tun, aber eigentlich würde jeder halbwegs intelligente Mensch die -3 und die +2 zu -1 zusammenfassen. Man kann also dann gleich schreiben

f(x) = 1/10·x^2 - 1

Wenn ich also etwas nicht zusammengefasstes vom Lehrer sehe würde ich ihn fragen ob das wirklich so sein soll oder ob da vielleicht ein x vergessen worden ist.

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bei b)  hab ich jetzt 1/5x raus und bei c)  0

Könnten Sie mir ggf. zur Korrektur und Überprüfung den Rechenweg von b) und c) aufschreiben?

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Also bei c) geht das ja eh nicht weil es kein x gibt, aber bei b)? Habe es mit x^n= n • x^n-1 errechnet und die beiden Zahlen fallen ja eh weg weils kein x da drinnen gibt.

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* ich meine x^n = n • x^n-^1

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Könnte ich irgw noch den Rechenweg bei b) zur ableitungsfunktion bekommen?

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Wie meinst du das mit b). Lasse den Term mit 3x weg. Ersetze die 2 durch eine -1 und schreib es auf. Da brauch ich doch nicht mehr helfen oder. Probier es mal selber. Wenn du zweifel hast schau ich gerne über deine Lösung drüber.

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Nein ich meine das mit lim h->0 was Sie ja bei a) auch gemacht haben

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f(x)= -1/2*x + 3 = -0.5*x + 3 

lim (h-->0) (f(z+h) - f(z)) / h

lim (h-->0) ((-0.5*(z+h) + 3) - (-0.5*z + 3)) / h

lim (h-->0) (-0.5*z - 0.5*h + 3 + 0.5*z - 3) / h 

lim (h-->0) (- 0.5*h) / h 

lim (h-->0) -0.5 = -0.5 

Das hier bloß eben für b) f(x)= 1/10x^2-3+2

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ich komme nämlich mit diesem rechenweg bei b) nicht weiter. Könnten Sie mir deshalb den Rechenweg senden?

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Vereinfache zunächst

f(x) = 1/10*x^2 - 3 + 2 = 0.1*x^2 - 1

lim (h-->0) (f(z+h) - f(z)) / h

lim (h-->0) ((0.1*(z+h)^2 - 1) - (0.1*z^2 - 1)) / h

lim (h-->0) ((0.1*(z^2 + 2zh + h^2) - 1) - (0.1*z^2 - 1)) / h

lim (h-->0) (0.1*z^2 + 0.2*zh + 0.1*h^2 - 1 - 0.1*z^2 + 1) / h

lim (h-->0) (0.2*zh + 0.1*h^2) / h

lim (h-->0) (0.2*z + 0.1*h) = 0.2*z