Hallo Alena,
zeichne Dir den Graphen der kubischen Funktion auf und ein paar Geraden, die der Gleichung h(x)=mx+6 entsprechen. Das habe ich Dir gemacht für m=−1 und m=2:
Plotlux öffnen f1(x) = x3-2x2-5x+6f2(x) = 2x+6f3(x) = -x+6Zoom: x(-4…6) y(-5…14)
man könnte sich jetzt übelegen, dass für m>0 immer drei Schittpunkt existieren. Wenn aber m sehr weit ins Negative geht, dann würde die Gerade die kubische Funktion nur noch in (0∣6) schneiden.
Und Du hast ganz Recht - um das genau zu berechnen muss man beide Funktionen gleichsetzen:
mx+6=x3−2x2−5x+6 ⇒ x3−2x2−(5+m)x=(x2−2x−(5+m))x=0 Das ist jetzt zwar nur eine Gleichung und zwei Unbekannte x und m, aber Du kannst eine Aussage darüber machen, wieviele Lösungen (und damit Schnittpunkte) für ein bestimmtes m existieren. Es gibt immer eine Lösung für x=0. Zusätzlich gibt es so viele Lösungen wie es für die Gleichung
x2−2x−(5+m)=0 gibt und dies ist eine quadratische Gleichung mit den bekannten Lösungen
x2,3=1±1+(5+m)=1±6+m Wird m kleiner als −6 so existiert keine Lösung. Es bleibt also bei einem Schnittpunkt. D.h. die Lösungsmenge ist
L={m ∣m>−6} Beachte bitte, dass es für m=−6 nur noch eine zusätzliche Lösung gibt; m=−6 gehört also nicht zur Lösungsmenge dazu.