Hallo Alena,
zeichne Dir den Graphen der kubischen Funktion auf und ein paar Geraden, die der Gleichung \(h(x)=mx+6\) entsprechen. Das habe ich Dir gemacht für \(m=-1\) und \(m=2\):
~plot~ x^3-2x^2-5x+6;2x+6;-x+6;[[-4|6|-5|14]] ~plot~
man könnte sich jetzt übelegen, dass für \(m>0\) immer drei Schittpunkt existieren. Wenn aber \(m\) sehr weit ins Negative geht, dann würde die Gerade die kubische Funktion nur noch in \((0|6)\) schneiden.
Und Du hast ganz Recht - um das genau zu berechnen muss man beide Funktionen gleichsetzen:
$$mx+6 = x^3-2x^2-5x+6 \quad \\ \space\Rightarrow \space x^3-2x^2-(5+m)x = (x^2-2x-(5+m))x=0$$ Das ist jetzt zwar nur eine Gleichung und zwei Unbekannte \(x\) und \(m\), aber Du kannst eine Aussage darüber machen, wieviele Lösungen (und damit Schnittpunkte) für ein bestimmtes \(m\) existieren. Es gibt immer eine Lösung für \(x=0\). Zusätzlich gibt es so viele Lösungen wie es für die Gleichung
$$x^2-2x-(5+m)=0$$ gibt und dies ist eine quadratische Gleichung mit den bekannten Lösungen
$$x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + (5 + m)} = 1 \pm \sqrt{6 + m}$$ Wird \(m\) kleiner als \(-6\) so existiert keine Lösung. Es bleibt also bei einem Schnittpunkt. D.h. die Lösungsmenge ist
$$L = \{ m \space | m \gt -6 \}$$ Beachte bitte, dass es für \(m=-6\) nur noch eine zusätzliche Lösung gibt; \(m=-6\) gehört also nicht zur Lösungsmenge dazu.