Anstieg berechnen unter der Bedingung das 2 Funktionen 3 Schnittpunkte haben

Question

Ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir bei dieser Aufgabe helfen könntet. Ich weiß dass man die Funktionen gleich setzen muss um die Schnittpunkte zu ermitteln aber dann habe ich ja zwei unbekannte Größen, einmal x und einmal m.  

Gegeben sind die Funktionen h(x)=mx+6 und f(x)=x³-2x²-5x+6

Berechnen Sie den Anstieg von h(x), so dass die Funktionen f(x) und h(x) drei Schnittpunte haben.

Answer 1

Hallo Alena,

zeichne Dir den Graphen der kubischen Funktion auf und ein paar Geraden, die der Gleichung \(h(x)=mx+6\) entsprechen. Das habe ich Dir gemacht für \(m=-1\) und \(m=2\):

~plot~ x^3-2x^2-5x+6;2x+6;-x+6;[[-4|6|-5|14]] ~plot~

man könnte sich jetzt übelegen, dass für \(m>0\) immer drei Schittpunkt existieren. Wenn aber \(m\) sehr weit ins Negative geht, dann würde die Gerade die kubische Funktion nur noch in \((0|6)\) schneiden.

Und Du hast ganz Recht - um das genau zu berechnen muss man beide Funktionen gleichsetzen:

$$mx+6 = x^3-2x^2-5x+6 \quad \\ \space\Rightarrow \space x^3-2x^2-(5+m)x = (x^2-2x-(5+m))x=0$$ Das ist jetzt zwar nur eine Gleichung und zwei Unbekannte \(x\) und \(m\), aber Du kannst eine Aussage darüber machen, wieviele Lösungen (und damit Schnittpunkte) für ein bestimmtes \(m\) existieren. Es gibt immer eine Lösung für \(x=0\). Zusätzlich gibt es so viele Lösungen wie es für die Gleichung

$$x^2-2x-(5+m)=0$$ gibt und dies ist eine quadratische Gleichung mit den bekannten Lösungen

$$x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + (5 + m)} = 1 \pm \sqrt{6 + m}$$ Wird \(m\) kleiner als \(-6\) so existiert keine Lösung. Es bleibt also bei einem Schnittpunkt. D.h. die Lösungsmenge ist

$$L = \{ m \space | m \gt -6 \}$$ Beachte bitte, dass es für \(m=-6\) nur noch eine zusätzliche Lösung gibt; \(m=-6\) gehört also nicht zur Lösungsmenge dazu.

Comments

Es sind 3 Schnittpunkte gesucht. Für m = -6 gäbe es nur zwei, oder?

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort und für den Zeitaufwand. Das hat mir weiter geholfen :)!

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... und was wir alle drei nicht bedacht haben ist der Wert für \(m=-5\). Hier fallen nämlich die beiden Schnittpunkte \(x_1=0\) und \(x_3=1 - \sqrt{6-5}=0\) in einem Punkt zusammen.

~plot~ x^3-2x^2-5x+6;-5x+6;[[-2|4|-5|10]] ~plot~

Also ist die Lösungsmenge

$$\mathbb{L} = \{ m \space | m \gt -6 \space \land  \space m \ne -5\} $$

Answer 2

Weiter umformen nach dem Gleichsetzen ergibt:x³-2x²-(5-m)x=0

x ausklammern x(x²-2x-(5-m))=0. Das heißt x₁=0 oder x²-2x-(5-m)=0.

m wie eine Zahl behandeln. Dann ist x_2/3=1±√(1+5-m).

Dass sind nur dann zwei reelle Lösungen,wenn m>6.

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Muss es nicht  -(5+m) lauten nach dem Ausklammern?

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Vielen lieben Dank !! Hat mir unglaublich weiter geholfen :)

Answer 3

mx+6 = x³-2x²-5x+6

x^3-2x^2-(5+m)x= 0

x(x^2-2x-5-m) = 0

x1= 0

pq-Formel:

x2/3 = 1±√(1^2+5+m) = 1±√(6+m)

Um zwei weitere Lösungen zu erhalten, muss gelten : 6+m>0 --> m>-6

Comments

Vielen lieben Dank für die Hilfe :)!

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Hallo Andreas,

eine auf das wesentliche zurückgeführte
Lösung. Hätte ich auch nicht besser machen
können.

mfg Georg

Hier zur Belohnung noch etwas zur
Erheiterung

  Der Schachspieler Euwe fuhr mit dem Zug. Er kam mit seinem Gegenüber im Abteil ins Gespräch, ohne einander vorzustellen, und man beschloß zum Zeitvertreib Schach zu spielen.

  Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte. Trotzdem gewann Euwe das Spiel souverän.

  Der Gegenspieler dachte bei sich " wie ist das möglich das ich hier gegen jemanden verliere, der zudem die Regeln noch nicht einmal zu kennen scheint" und sagte zu Euwe
" Ich verstehe das nicht das ich hier so haushoch verliere. In meinem Verein gehöre ich mit zu den Besten. Im Verein nennt man mich den kleinen Euwe ".