DGL mit Greensfunktion lösen (ungedämpfter harmonischer Oszillator)

Question

ich bin neu hier im Forum und kenne mich dementsprechend noch nicht ganz mit den Funktionen aus, besonders was die Darstellung von Gleichungen etc. angeht. Deswegen habe ich mein Anliegen in Latex formuliert und einen Screenshot davon gemacht.

Aufgabe: Bestimmen Sie x(t) für erzwungene Schwingungen einer ungedämpften Oszillators, der sich zur Zeit t=0 in der Gleichgewichtslage x = x' = 0 befindet.

Lösungsanfang unter "meine Ideen" :

Comments

EDIT: Da du schon fragst:

Hier mal, wie du TEX direkt in den Editor einbinden kannst:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

Dann aber: Text bitte immer als Text eingeben. Alles andere kann man kaum lesen und auch nicht wiederfinden.  Vgl. "Schreibregeln" im grünen Balken unten. EDIT: Habe nun die Aufgabenstellung (2 Zeilen) abgetippt und hoffe, dass dir jemand helfen kann.

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Danke für den Tipp.

Ich habe das ganze nochmal neu geschrieben und hoffe das es jetzt besser Lesbar ist. 

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen sie $$ x(t) $$ für erzwungene Schwingungen eines ungedämpften Harmonischen Oszillators, der sich zur Zeit $$ t=0 $$ in der Gleichgewichtslage $$ x=\dot{x}=0 $$ befindet.

Meine Ideen:
Die erste Teilaufgabe lautet

a) $$ \ddot{x} ^2 + 2\gamma \dot{x} + \omega _0 ^2 x = F_0 =const $$

Die Greensfunktion lautet:

$$ G(t)=\frac{sin(\omega _0 t)}{\omega _0} H(t)  $$ ; wobei $$ H(t) $$ die Helliside Funktion ist

Die Partikuläre Lösung dieser DGL er halte ich ja mit 

$$ x(t) = (G * F) (t) = \int _{-\infty}^{\infty} d_y G(x-y) F(y) $$

Jetzt weiß ich nicht wie man ein solches Integral löst. Da ich bei jeder Aufabe (verschiedener inhomogener Term) ein solches Integral ausrechnen muss, wäre ich sehr dankbar wenn mir bitte jemand einmal exemplarisch diese Aufgabe vorrechnen könnte, damit ich die anderen Aufgaben selbst schaffe. 

Answer 1

die DGL des gedämpften harm.Oszillators mit Inhomogenität lautet

x''+2γx'+ω^2 x=F

Da es hier um den ungedämpften Fall geht ist γ=0.

H(t) ist die Heaviside Funktion.

In deiner Formel zur Bestimmung von x(t) steht auf der rechten Seite gar kein t im Integral.

Die Formel lautet üblicherweise so

x(t)=∫G(t-t')*F(t)dt'

Einsetzen:

x(t)= ∫₀^∞ sin(ω*(t-t'))/w*H(t-t')*F*dt'

=F/w ∫₀^∞ sin(ω*(t-t'))*H(t-t')*dt'

=F/w*∫₀^t sin(ω*(t-t'))*dt'

=F/w^2*[1-cos(wt)]