Folgende Funktion differenzieren mit Exponentialfunktion und Integral

Question

Für eine Funktion a ∈ C⁰ (ℝ) (=aus dem Raum aller stetigen Funktionen) wird die Differentialgleichung f' = af auf ℝ durch die Funktion f mit$$ f(x)\quad =\quad c\quad exp\left( \int _{ 0 }^{ x }{ a(\tau )\quad d\tau  }  \right) $$gelöst, wobei c ∈ ℝ eine Konstante ist (im Falle eines vorgeschriebenen Anfangswerts f(0) ist c = f(0). Sei weiters b ∈ C⁰(ℝ) eine Funktion. Für die Lösung der inhomogenen Gleichung f' = af + b auf ℝ verwendet man die Technik der Variation der Konstanten, i.e. man lässt die Konstante c abhängig von x variieren und schreibt daher c(x) statt c. Im Folgenden soll der Ansatz$$ f(x)\quad =\quad c\left( x \right) \quad exp\left( \int _{ 0 }^{ x }{ a(\tau )\quad d\tau  }  \right) \quad (*) $$benützt werden.

(i) Differenzieren Sie die Funktion f aus (*), setzen Sie das Ergebnis gleich af+b und erhalten Sie so eine Gleichung für c'

(ii) Integrieren Sie die auf voranstehende Weise gefundene Gleichung für c' um eine Bedingung für c zu bekommen.

(iii) Setzen Sie das Resultat für c in (*) ein, um die Lösung f der inhomogenen Gleichung zu bestimmen.

Comments

Für eine Funktion a ∈ C⁰ (ℝ) (=aus dem Raum aller stetigen Funktionen) wird die Differentialgleichung f' = af auf ℝ durch die Funktion f mit$$ f(x)\quad =\quad c\quad exp\left( \int _{ 0 }^{ x }{ a(\tau )\quad d\tau  }  \right) $$gelöst, wobei c ∈ ℝ eine Konstante ist (im Falle eines vorgeschriebenen Anfangswerts f(0) ist c = f(0). Sei weiters b ∈ C⁰(ℝ) eine Funktion. Für die Lösung der inhomogenen Gleichung f' = af + b auf ℝ verwendet man die Technik der Variation der Konstanten, i.e. man lässt die Konstante c abhängig von x variieren und schreibt daher c(x) statt c. Im Folgenden soll der Ansatz$$ f(x)\quad =\quad c\left( x \right) \quad exp\left( \int _{ 0 }^{ x }{ a(\tau )\quad d\tau  }  \right) \quad (*) $$benützt werden.(i) Differenzieren Sie die Funktion f aus (*), setzen Sie das Ergebnis gleich af+b und erhalten Sie so eine Gleichung für c'(ii) Integrieren Sie die auf voranstehende Weise gefundene Gleichung für c' um eine Bedingung für c zu bekommen.(iii) Setzen Sie das Resultat für c in (*) ein, um die Lösung f der inhomogenen Gleichung zu bestimmen.

---

EDIT: Mühsam, wenn das ganze Layout zerstört wird. Ich habe jetzt hier wenigstens die 3 Fragen wieder trennen können (mit Zeilenumbrüchen), würde es aber vorziehen, dass diese automatische Entfernung von Zeilenumbrüchen aufgehoben würde. Die funktioniert noch immer zu unzuverlässig.

Trotzdem: Bitte die Fragen nicht doppelt einstellen. Das ändert die Darstellung in der Regel auch nicht. - Habe sie nun hier zusammengeführt.

Ich musste z.B. auch hier bei der Antwort von mathef Zeilenumbrüche einfügen, damit

1), 2), 3) , 4) ... wenigstens an den Zeilenanfang kamen. https://www.mathelounge.de/383803/die-funktionen-untersuchen-bsp-b-f-x-0-0167x-4-0-5167x-2-1