Ist die Menge A = (0,∞) x (0,∞) mit definierter Verschiebung ein affiner Raum

Question

Hallo die Frage lautet :

A = (0,∞) x (0,∞) mit  definierter Verschiebung

mich verwirrt ein wenig was α1*10^ξ1 bzw. α2*10^ξ2 bedeuten soll , kann mir das jemand sagen?

und sieht jemand ob die geforderten Eigenschaften erfüllt sind oder nicht?

Comments

"mich verwirrt ein wenig was α1*10^ξ1 bzw. α2*10^ξ2 bedeuten soll , kann mir das jemand sagen? "

Das ist die Definition der sog. Verschiebung. in lat. Buchstaben

 (a1 * 10^x1 , a2 * e^x2) ist der Bildpunkt von (a1, a2) bei der sog. "Verschiebung" um (x1 , x2)

D.h. z.B.

mit (x1, x2) = (2, 3) 

(a1, a2) --> (a1 * 100, a2*1000)

Also

(1,2) -----> ( 100, 2000)

(3,4) → (300, 4000)

usw. 

Nun sollst du die Eigenschaften von affinen Räumen erst mal aufschreiben und dann einzeln testen / einen widerlegen. 

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Hallo Lu !

Ah ich verstehe wie so eine Art Funktionsvorschrift die mir angibt wie genau der Punkt durch den Vektor verschoben wird .

WIr haben die 3 EIgenschaften aufgeschrieben :

ich habe bei 3) angefangen

D.h. z.B.

mit (x1, x2) = (0, 0) 

(a1, a2) --> (a1 * 10^0, a2*10^0)

Also zb.

(1,2) -----> ( 1, 2) würde gelten.

bei 2)

mit (x1, x2) = (x1, x2)  beliebig und
(a1, a2)=(0,0)

(a1, a2) --> (0 * 10^x1, 0*10^x2)

Also  würde durch varieren von (x1,x2) immer derselbe Punkt (a1,a2)=(0,0) herauskommen obwohl doch gefordert ist das es genau einen vektor v gibt der P zu Q verschiebt , jedoch würden dies unendlich viele vektor v tun , da sich immer der punkt (0,0) ergibt .

also stimmt die 2te Eigenschaft nicht .

Denke ich da richtig?

Answer 1

> (a1, a2)=(0,0)

Es ist (0,0) ∉ A. Der Punkt (0,0) ist also nicht geeignet, (2) zu widerlegen, weil er nicht im Definitionsbereich der Verschiebung liegt.

Stattdessen: Sei (a₁, a₂) ∈ A. Ferner seien (p₁,p₂) und (q₁,q₂) Verschiebungen, die (a₁, a₂) nach (b₁, b₂) verschieben. Zeige dass dann (p₁, p₂) = (q₁, q₂) sein muss.

Comments

Hallo danke für den Hinweis , habe die offenen Intervalle überlesen !

Falls ( p1 ,p2 ) und  ( q1, q2) , ( a1, a2 ) nach ( b1, b2 ) verschieben sollen dann gilt

( b1 b2 )= ( a1* 10^ p1 a2* 10^ p2) = ( a1* 10^ q1 a2* 10^ q2 ) => p1= q1 und p2 = q2 also ist

( p1 p2 ) = ( q1 q2 )

Ist das so gemeint oder anders ?

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Genau so ist es gemeint. Genauer gesagt: wegen  a₁≠0  darf die Gleichung

        a₁·10^p₁ = a₁·10^q₁

durch a₁ dividiert werden um

        10^p₁ = 10^q₁

zu bekommen. Logarithmieren liefert dann p₁ = q₁

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Okay stimmt ja , jz sehe ich warum a1 und a2 ≠0 sein müssen .

Eine Blöde Frage jz habe ich doch gezeigt dass der vektor v der P nach Q verschieben soll eindeutig ist oder? Was dann 2) beweist?

dann bleibt mir noch 1) über .

welchen Ansatz könnte ich da wählen?

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Ich habe folgendes :

Sei (a1 a2) ∈A beliebig und ferner seien ( v1 v2 ) und ( w1 w2 ) verschiebungen .

zz gilt  (p+v) + w= p+(v+w)  ich kann hier leider nicht den unterschied von Vektoraddition bzw. verschiebung darstellen .

(p+v)+w= ( a1*10^v1  a2*10^v2)+ w= ( a1*10^v1*10^w1  a2*10^v1*10^w2)= ( a1*10^{v1+w1} a2*10^{v2+w2}= p+(v+w) .

ist das korrekt?

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Ist richtig so.

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Okay analog dazu habe ich die 3te Eigenschaft gezeigt .

Also habe ich die 3 Eigenschaften gezeigt und somit ist A ein affiner Raum ist das korrekt ?