Schau dir doch zunächst mal die Definitionen dieser vier Begriffe an und versuche sie zu verstehen.
Das Maximum / Minimum einer Menge ist das größte / kleinste in dieser Menge auftretende Element.
Das Supremum / Infimum ist die kleinste obere / größte untere Schranke der Elemente der Menge.
Bei Mengen mit endlich vielen Elementen ist klar: Eine solche Menge hat sowohl ein Maximum als auch ein Minimum und es gilt Maximum = Supremum und Minimum = Infimum (siehe den fett gesetzten Satz weiter unten).
Bei Mengen mit unendlich vielen Elementen hingegen, wie etwa bei der Menge der Glieder der angegebenen Folge, kann es vorkommen, dass es kein Maximum / Minimum gibt, wohl aber ein Supremum / Infimum.
In beiden Fällen jedoch gilt:
Wenn ein Maximum / Minimum einer Menge existiert, dann ist dieses auch gleichzeitig das Supremum / Infimum der Menge.
Bei der angegebenen Folge
an = - 2 / n ; n ∈ N
ist die Anzahl der Elemente der Menge M der Folgeglieder unendlich, nämlich:
M = { - 2, - 1, - 1/3, - 1/4, - 1/5, ... }
Offensichtlich ist - 2 das Minimum von M. Also ist - 2 aufgrund des oben fett gesetzten Satzes auch gleichzeitig das Infimum von M.
Ebenso offensichtlich ist die Folge monoton steigend und nach oben durch den Wert Null beschränkt. Die Folgeglieder nähern sich also dem Wert Null von unten. Sie kommen diesem Wert beliebig nahe, erreichen ihn jedoch nie.
Das aber bedeutet, dass Null die kleinste obere Schranke der Folgeglieder ist, also ihr Supremum. Da aber der Wert Null nicht zu der Menge M gehört, ist Null nicht das Maximum von M. Tatsächlich existiert kein Maximum der Menge M, denn zu jedem Element von M findet man (in diesem Fall durch Erhöhen des Indexes n) ein größeres Element von M.
