Berechne Gewinnschwelle, Gewinngrenze, maximalen Gewinn!

Question

Hi brauche Lösung für dieses Beispiel:
Gegeben ist die Kostenfunktion K(x) und der konstante Verkaufspreis p. Berechne Gewinnschwelle, Gewinngrenze, gewinnmaximierende Menge und den maximalen Gewinn. 
K(x)=0,002x³-0,18x²+7,8x+9450; p=140

Comments

Die Differenzfunktion (Gewinn) aus Erlös und Kosten ist eine kubische Funktion (Funktion dritten grades). Wie löst ihr diese normalerweise? Numerisch, mit einer Werte-Tabelle oder mit den cardanischen Formeln?

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Hier findet man eine ganzzahlige Nullstelle und kann zur Not Polynomdivision und das ganze Programm machen.

Answer 1

K(x) = 0.002·x^3 - 0.18·x^2 + 7.8·x + 9450

E(x) = 140·x

G(x) = E(x) - K(x) = - 0.002·x^3 + 0.18·x^2 + 132.2·x - 9450

G'(x) =

Gewinnzone G(x) = 0

- 0.002·x^3 + 0.18·x^2 + 132.2·x - 9450 = 0 --> x = 270 ∨ x = -250 ∨ x = 70

Gewinnschwelle: 70 ME

Gewinngrenze: 270 ME

Gewinnmaximum G'(x) = 0

- 0.006·x^2 + 0.36·x + 132.2 = 0 --> x = 181.4 ∨ x = -121.4

G(181.4) = 8516 GE

Gewinnmaximierende Menge: 181.4 ME

Maximaler Gewinn: 8516 GE

Comments

Wie würdest du die gewinnschwelle rechnerisch ermitteln?

Hab deinen Kommentar gesehen.

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- 0.002·x³ + 0.18·x² + 132.2·x - 9450 = 0

⇔  x³ - 90·x² - 66100·x + 4725000 = 0

4725000 = 2³·3³·5⁵·7

Bei der Anzahl möglicher ganzzahliger Teiler erscheint mir

> Hier findet man eine ganzzahlige Nullstelle und kann zur Not Polynomdivision und das ganze Programm machen.

schon sehr "Not"-dürftig  :-)

Mit dem 

Newtonverfahren (Näherungsverfahren):   

gesucht Nullstellen von f(x) =  x³ - 90·x² - 66100·x + 4725000 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

findet man x₁ = 70  

( → quadratischer Restterm = 0 nach Polynomdivision durch x-70 → x₂ = 270  )

schon mit dem  "Auf -gut Glück-Startwert" x=0 sehr schnell:

x	f(x)	f '(x)
0	4725000	-66100
71,48260212	-94619,50355	-63637,58116
69,99575265	271,8324106	-64001,01931
69,99999997	0,002164607	-64000,00001
70	0	-64000

Mit Blick auf die obige Primfaktorzerlegung kann man x₁ = 70 schon nach Schritt 2 (spätestens nach Schritt 3) vermuten und durch Einsetzen überprüfen.

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Wenn man einen TR mit Wertetabelle hat, dann empfehle ich meist sich grob einen Eindruck von der Funktion zu verschaffen. Bei Kostenfunktionen bedeutet das eine Wertetabelle von 0 bis 20 in der Schrittweite 1 oder eine Wertetabelle im Bereich von 0 bis 200 mit der Schrittweite 10 erstellen.

Bei Zahlen von 4725000 würde ich ausdrücklich keine Faktorzerlegung empfehlen man sieht ja schon an den 3 Nullen 3 mal die 2 und drei mal die 5 als Primfaktor. Das dauert viel zu lange und mit einer Wertetabelle ist man meist sofort im richtigen Bereich. Bei bedarf kann man auch nochmals mit der Schrittweite 1 nachprüfen ob eventuell eine ganzzahlige Nullstelle vorhanden ist.

Das ist auch günstig um einen Ansatz für ein eventuell nötiges Newtonverfahren zu haben.

[0, -9450;
10, -8112;
20, -6750;
30, -5376;
40, -4002;
50, -2640;
60, -1302;
70, 0;
80, 1254;
90, 2448;
100, 3570;
110, 4608;
120, 5550;
130, 6384;
140, 7098;
150, 7680;
160, 8118;
170, 8400;
180, 8514;
190, 8448;
200, 8190]

Man findet direkt die erste Nullstelle und eine Extremstelle im Bereich von 170 bis 190.

Und wenn der Taschenrechner zufällig sogar eine Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades haben sollte, kann diese Natürlich auch benutzt werden um das suchen von Nullstellen etwas zu vereinfachen.

Man sollte dann aber ganzzahlige Nullstellen nehmen, die man auch auf anderen Wegen hätte finden können.

Aber sich eine Wertetabelle zu machen hilft meist schon sehr gut um sich eh einen Überblick über die Funktion zu verschaffen. Daher empfehle ich eigentlich immer sich kurz eine Wertetabelle zu machen.

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Womit wir wieder bei Koffis Ausgangsfrage wären.

Die ganze Diskussion hätte sich erübrigt, wenn uns der Fragesteller einer Antwort gewürdigt hätte.