Vollständige Induktion Fakultät auflösen

Question

Wie der Titel schon sagt, habe ich ein Problem die Formeln mit Fakultäten gleichzustellen bzw. komme ich auf keine logische Erklärung falls ich gefragt werde.

ⁿ⁺¹_k=1∑ k•k!=((n+1)+1)!-1

ⁿ⁺¹_k=1∑ k•k!=(n+1)!-1+(n+1)•(n+1)!

Rechnung ist also fertig und glaube ich auch richtig denn beim einsetzten stimmt es aber ich weiß nicht wirklich wie ich die untere Formel rechts vom = auf die obere rechts vom = zusammenfassen kann

Answer 1

Zu zeigen

Σ (k = 1 bis n) (k·k!) = (n + 1)! - 1

Induktionsanfang n = 1

Σ (k = 1 bis 1) (k·k!) = (1 + 1)! - 1

1·1! = 2! - 1

stimmt!

Induktionsschritt n --> n + 1

Σ (k = 1 bis n + 1) (k·k!) = (n + 2)! - 1

Σ (k = 1 bis n) (k·k!) + ((n + 1)·(n + 1)!) = (n + 2)! - 1

(n + 1)! - 1 + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)! - 1

(n + 1)! + (n + 1)·(n + 1)! = (n + 2)!

(n + 1)!·(1 + (n + 1)) = (n + 2)!

(n + 1)!·(n + 2) = (n + 2)!

(n + 2)! = (n + 2)!

stimmt!