mit dy/dx umgehen wie mit einem Bruch darfst Du ganz sicher nicht.
Der math. Hintergrund ist folgender:
Du hast eine Dgl der Form
$$ y' = f(x,y) = g(x)\cdot h(y) $$
$$ {y' \over h(y)} = g(x) $$
$$ \int_{y_0}^y {v' \over h(v)} \,dv = \int_{x_0}^x g(u) \,du $$
Du integrierst links über y, weil Du nur y-Funktionen hast, und rechts über x, weil dort nur x-Funktionen sind. Links hast Du im Nenner eine Funktion über y und im Zähler die Ableitung von y, damit kannst Du eine Integration durch Substitution in der einfachen Form durchführen, das führt zu:
$$ \int_{y_0}^y {1 \over h(v)} \,dv = \int_{x_0}^x g(u) \,du $$
Das Ganze ist nur für \( h(y) \neq 0 \) zulässig. Der Fall \( h(y) = 0 \) muss gesondert betrachtet werden
Grüße,
M.B.