Differentialgleichung lösen - allgemeine Fragen dazu

Question

Zum Lösen von  separierbaren dgl integriert man ja bekanntlich.  Kann mir jemand eine Begründung liefern, warum ich hier nach zwei unterschiedlichen Variablen integrieren darf und nicht nach der selben var integrieren muss, wenn ich das Integrieren quasi als Äquivalenzumformung nutze.

Und warum darf ich mit dem Differential dy/dx umgehen wie mit einem Bruch?

Danke euch!

Answer 1

mit dy/dx umgehen wie mit einem Bruch darfst Du ganz sicher nicht.

Der math. Hintergrund ist folgender:

Du hast eine Dgl der Form

$$ y' = f(x,y) = g(x)\cdot h(y) $$

$$ {y' \over h(y)} = g(x) $$

$$ \int_{y_0}^y {v' \over h(v)} \,dv = \int_{x_0}^x g(u) \,du $$

Du integrierst links über y, weil Du nur y-Funktionen hast, und rechts über x, weil dort nur x-Funktionen sind. Links hast Du im Nenner eine Funktion über y und im Zähler die Ableitung von y, damit kannst Du eine Integration durch Substitution in der einfachen Form durchführen, das führt zu:

$$ \int_{y_0}^y {1 \over h(v)} \,dv = \int_{x_0}^x g(u) \,du $$

Das Ganze ist nur für \( h(y) \neq 0 \) zulässig. Der Fall \( h(y) = 0 \) muss gesondert betrachtet werden

Grüße,

M.B.

Comments

Warum steht statt v' plötzlich 1?

---

das ist die Substitutionsregel in der einfachen Form, die darauf beruht, dass Integration auch als Umkehrfunktion der Differentiation gesehen werden kann.

Wenn Du eine Funktion \(y = f(g(x)) \) hast, dann gilt nach der Kettenregel \( y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Hier geht das Ganze rückwärts: Du hast $$ {1 \over h(v(x))} \cdot v'(x) $$, also eine äußere Funktion \( 1/h \) und eine innere Funktion \( v \) und deren Ableitung \( v' \). Du kannst also direkt über \( 1/h \) integrieren.

Grüße,

M.B.

---

Ich will dir nicht auf die Nerven gehen, aber könntest du das noch etwas genauer erläutern.

---

schaue unter "https://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution", gleich am Anfang "Aussage der Substitutionsregel" und "Beweis".

Grüße,
M.B.

---

Ok, aber da habe ich ja unterschiedliche integrationsvariable?!

---

wenn Du die Argumente von \( f \) vergleichst, dann siehst Du, dass gilt:

$$ x = \varphi(t) \Leftrightarrow t = \varphi^{-1}(x) $$

Nun kannst Du rechts noch anfügen:

$$ \dots = \int_a^b f(\varphi(t)) \,dt $$

Da die Grenzen \( a,b \) \( x \)-Werte sind, müssen sie ebenfalls transformiert werden mit \( \varphi(\varphi^{-1}(a)) = a \). Nun hast Du auf beiden Seiten Funktionen über \( t \) und wenn Du willst, kannst Du sie einfach in \( x \) umbenennen.

Und nun habe ich eine Frage an Dich: Jemand der Dgl. lösen soll, sollte eigentlich wissen, wie man integriert.

Grüße,

M.B.