Substitution des dritten Grades. f(x)= x^6 + x^3 -6 Diese Funktion müsste eigentlich 6 Nullstellen haben.

Question

Ich habe eine Frage bei der folgenden Aufgabe:

x^6 + x^3 -6 = 0 : Diese Funktion müsste eigentlich 6 Nullstellen haben.

Hier substituiere ich mit: z = x^3

dann habe ich:

x^2 + x -6 = 0

Nach der P-Q Formel habe ich für

z1 = 2

z2 = -3

Dann resubstituiere ich:
dritte Wurzel aus 2 ==>

x1 = 1,25

x2 = -1,25

dritte Wurzel aus -3 schreibe ich um:

-1 dritte Wurzel aus √3 ==>

x3 = -1,44

x4 = 1,44

Aber woher bekomme ich die restlichen 2 Nullstellen?

Oder wie funktioniert das mit der Wurzel ziehen bei mehr als einem Quadrat und wie schreibt man dann die Nullstellen??

Danke für jeden Tipp.

Answer 1

Hi,

richtig ist Deine Substitution und deren Ergebnis:

z₁ = 2

z₂ = -3

 

Damit nun in die Substitution x^3=z

 

x^3=z₁=2

x₁=³√2

 

und

x^3=z₂=-3

x₂=³√-3 = -³√3

 

Weitere reelle Ergebnisse gibt es nicht und Du bist bereits fertig :). Es gibt also nur zwei reelle Lösungen

 

Grüße

Answer 2

Die Funktion x^6 + x^3 - 6 hat 6 Nullstellen. Allerdings nur 2 reelle bei

x = - 3^{1/3} ∨ x = 2^{1/3}

Die anderen 4 Nullstellen sind komplexer Natur

x = 3^{1/3}/2 - 3^{5/6}·i/2 ∨ x = 3^{1/3}/2 + 3^{5/6}·i/2 ∨ x = - 2^{1/3}/2 - √3·2^{1/3}·i/2 ∨ x = - 2^{1/3}/2 + √3·2^{1/3}·i/2

Also mach dir nicht so viele Gedanken. Meist interessieren nur die reellen Nullstellen.

Comments

vielen Dank für die Aufklärung.

Aber wie erkennt man den nun überhaupt, ob die Funktion reelle oder "nicht reelle" Nullstellen hat?

und wie viele davon sind dann reell???

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Du hast das doch schon richtig gemacht. Du hast 2 reelle Nullstellen ausgerechnet. Folglich müssen das andere komplexe sein oder halt doppelte Nullstellen.

Wie zb. bei x^2 = 0

Da haben wir eine doppelte Nullstelle. Weil es ja 2 Nullstellen geben kann.