Wie lautet die Folge, die dieses Verhalten beschreibt?

Question

Ich habe diese Aufgabe bekommen, und weiß leider nicht, wie ich jetzt vorgehen soll.

Eine Landwirtin führt ein Monitoring auf 1 ha Brachland durch. Im ersten Bericht im Frühjahr  wurden 195 Exemplare eines seltenen Wildkrauts gefunden. Das einjährige Kraut vermehrt sich jährlich um 4%. Der örtliche Homöopathie-Apotheker möchte jedes Jahr 8 Exemplare entnehmen.

1. Wie lautet die Folge, die dieses Verhalten beschreibt?

2. Wie viele Exemplare hat die Landwirtin im Fruhjahr nach 6 Jahren auf dem Brachland?

3. Wie viele Exemplare mussten auf dem Land sein, damit der Apotheker 8 Exemplare entneh- men kann, ohne die Population langfristig zu verringern? 

Answer 1

1.

eine Folge, die "dieses Verhalten beschreibt"  lautet (wenn der Apotheker am jeweils nach einem Jahr entnimmt):

a_n = 195 ·1,04ⁿ - 8·(1,04ⁿ - 1) / 0,04

[ Man kann hier einfach die "Sparkassenformel für nachschüssigen Kapitalabbau" anwenden:

Anfangskapital K₀ = 195€ , Zinssatz 4% (q = 1,04) , am Ende jeden Jahres werden r = 8€ entnommen. Wie viel Geld hat man nach n Jahren noch :-)

 https://de.wikipedia.org/wiki/Sparkassenformel ]

Nachtrag nach Kommentar 1: 

Obwohl ich annehme, dass du von der Funktion round(x)  noch nie gehört hast:

Wenn man  a_n = round(195 ·1,04ⁿ - 8·(1,04ⁿ - 1) / 0,04)  schreibt,  erhält man ggf. direkt den "kaufmännisch gerundeten" ganzzahligen Wert.  

(Nachtrag Ende)

2.

Nach 6 Jahren:

a₆ = 195 ·1,04⁶ - 8·(1,04⁶ - 1) / 0,04 ≈ 193.67 ≈ 194

3. 

Anfangswert =  x  Exemplare = Endwert:

x · 1.04ⁿ - 8·(1.04ⁿ - 1) / 0.04  =  x   

x · 1.04ⁿ - x  = 8·(1.04ⁿ - 1) / 0.04 

x · ( 1.04ⁿ - 1)  = 8 · (1.04ⁿ - 1) / 0.04 

→  x =  8 / 0.04 = 200 

Gruß Wolfgang

Comments

Man kann hier einfach die "Sparkassenformel für nachschüssigen Kapitalabbau" anwenden

Falls es nämlich auch Bruchteile von Pflanzen gibt oder falls die Pflanzen nur auf dem Papier stehen oder falls man Angst vor Rundungsfunktionen hat.

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Wie kommt man auf die Formel für \( a_n \)?

Wie leitet man ausgehend von der rekursiven Zuordnung

\( a_{n} = (1.04 \cdot a_{n-1}) - 8 \)

mit \( a_0 = 195 \) die explizite Darstellung

\( a_n = a_0 \cdot 1.04^n - 8 \frac{1.04^n - 1}{1.04 - 1} \)

her?

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@Mister

Sie sollten Ihrem Tatendrang keinen Zwang antun und einfach eine hilfreiche Antwort schreiben.