Modell für Kegelstumpf. ermittle um wie viel cm^2 sich die oberfläche verändert

Question

aus einem karton soll das modell eines leuchtturms in form eines kegelstumpfs angefertigt werde. der radius r1 der bodenfläche soll (5,0 +- 0,4 ) cm, der radius r2 der eckenfläche (2,5 +- 0,2)cm un die seitenkante genau s = 15 cm betragen

1) berechne die oberfläche des leuchtturmes:

O = pi *( s*( r1 + r2) +(r1)^2 + (r2)^2

= 451,603944cm^2

als d r1 bezeichne ich die +- 0,4 und r1 = 5

als d r2 bezeichne ich die +-0,2 und r2 = 2,5

d O = |(pi * s+2*pi*r1) * d r1| + |(pi*s+2*pi*r2)* r2| = 43,98229715 cm^2

O = (451,60 +- 43,98)cm^2

2) Ermittle, um wie viel cm^2 sich die oberfläche verändert, wenn die radien um 5% vergrößert werden?

leider kenne ich mich nicht aus wie ich die nummer 2 rechnen soll

kann mir da jemand weiterhelfen bitte

Danke in voraus

Comments

schau mal in dieses Video rein. Ich habe es mir heute morgen angesehen, diese Art von Problemstellung ist auch für mich neu: https://www.khanacademy.org/math/calculus-home/derivative-applications-calc/related-rates-calc/v/rates-of-change-between-radius-and-area-of-circle

(Ups, ich sehe gerade, das ist ja eine andere Problemstellung. Die Änderung in Abhängigkeit von der Zeit erfordert natürlich eine Ableitungsfunktion … das ist bei Dir ja nicht gegeben. An sich ist Deine Aufgabe doch einfach: Du musst lediglich A(neu=1,05*r^2*pi) - A(alt=r^2*pi) rechnen.)

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Die Formel für A habe ich hier nur für den Kreis angegeben … die (Ober-)Flächenformel kannst Du ja dann einfach entsprechend einsetzen.

Answer 1

Hi,

die Oberfläche berechnet sich ja nach der Formel

$$  O(r,R,s) = \pi \left[ r^2 + R^2 + s \cdot (r+R) \right] $$

Bei Änderungen an den Eingangsgrößen sollte man die Fehlerrechnung benutzen. Hier ergibt sich

$$ \Delta O = \left | \frac{\partial }{\partial r} O(r,R,s) \right | \cdot \Delta r +  \left | \frac{\partial }{\partial R} O(r,R,s) \right | \cdot \Delta R + \left | \frac{\partial }{\partial s} O(r,R,s) \right | \cdot \Delta s $$

Bei Dir ist \( \Delta s = 0 \) und für \( \Delta r \text{ und } \Delta R \) gilt einmal

$$ (1) \quad \Delta r  = 0.4 \text{ und } \Delta R = 0.2  $$ und beim zweitenmal gilt

$$ (2) \quad \Delta r  = r \cdot 5 \% = 0.25 \text{ und } \Delta R = R \cdot 5 \% = 0.125 $$

Jetzt alles einsetzten ergibt die Lösung