Horner Schema komplexe Zahlen Fehler

Question

z⁴-2z³+2z²+4z-8=0

Die gegebene Nullstelle = 1 -sqrt(3)i also muss ja die die Zahl konjugiert auch eine Nullstelle sein

==> 1+sqrt(3)i

	1	-2	2	4	-8
		1+sqrt(3)i	-4	-2-2sqrt(3)i	8
1+sqrt(3)i	1	-1+sqrt(3)i	-2	2-2sqrt(3)i	0
---------------	------	-----------------	------	------------------	---
		1-sqrt(3)i	-4	-2+sqrt(3)i	-1+3isqrt(3)
1-sqrt(3)i	1	-1-sqrt(3)i	-2	2+sqrt(3)i	-9+3isqrt(3)

Könnte mir jemand den Fehler nennen?
Ich sollte ja schon in der Spalte 5 Zeile 5 == 0 Haben wo (2+sqrt(3)i) steht 

Comments

Tipp: Wenn \(1-\sqrt3i\) eine Nullstelle ist, dann ist auch \(1+\sqrt3i\) eine. Das Polynom sollte also durch \(z^2-2z+2\) teilbar sein.

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wie kommtst du auf z2-2z+2 wo liegt mein fehler? ich müsste ja auch an der zweiten stelle wo ich 1-sqrt(3)i nehme auf 0 kommen?  wie komme ich auf alle null stellen? die aufgabe soll ja explizit per horner schema gelöst werden

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Korrektur: Es muss \(z^2-2z+4\) heißen. Das folgt z.B. nach Vieta.
Man findet \(z^4-2z^3+2z^2+4z-8=(z^2-2z+4)\cdot(z^2-2)\).
Daraus lassen sich die restlichen Nullstellen ermitteln.

Answer 1

Wenn 1 - √3·i und 1 + √3·i Nullstellen sind, dann lautet der Faktor

(x - (1 - √3·i)) * (x - (1 + √3·i))

= ((x - 1) + √3·i) * ((x - 1) - √3·i)

= (x - 1)² - (√3·i)²

= x² - 2x + 1 - (-3)

= x² - 2x + 4

Dadurch kann ich mein Ausgangspolynom teilen:

(x⁴ - 2·x³ + 2·x² + 4·x - 8)/(x² - 2·x + 4) = x² - 2

Damit sind die letzten Nullstellen x = ± √2

Comments

danke dir!, wie kommst du auf (x - (1 - √3·i)) * (x - (1 + √3·i))

ich wünsche dir ein schönes wochenende :)

wenn als tipp extra gegeben ist das man das horner schema benutzten soll dann sollte ich doch zumindest mit 1-sqrt(3)i auch auf 0 kommen? stimmt meine rechnung?=

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Wenn n1 und n2 Nullstellen sind dann kann man die Linearfaktorform so schreiben

(x - n1) * (x - n2)

Da kann ich jetzt für n1 und n2 meine Nullstellen einsetzen, d.h. im Zweifel auch komplexe.

Ich sehe momentan nicht ganz wo das Horner Schema hier Vorteile bringen könne. Im Gegenteil. Ich denke das ist hier Wahnsinnig aufwändig.

Der Fehler liegt oben in der zweiten Spalte beim zweiten Horner Schema.

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wie kann es denn sein das man in der zweiten spalte nicht auf 0 kommt obwohl es die angegebene nullstelle ist?

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Zital "Der Fehler liegt oben in der zweiten Spalte beim zweiten Horner Schema."

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habe die aufgabe mehrfach nachgerechnet komme einfach nicht auf einen grünen zweig komme nie auf 0 mit 1-sqrt(3)i ... egal danke dir :)