Lagrange Methode - Maximalwert

Question

Guten Morgen liebe Mathematiker,

Gegeben ist folgende Aufgabe: Es soll der Maximalwert von f(x,y) bestimmt werden, dazu hat man die Funktion

f(x,y) = 85 - x² - y²

und die Nebenbedingung

x + 9y = 82

Ich habe das ganze mit der Lagrange Methode gelöst und hoffe, es richtig gemacht zu haben - dazu wäre es toll, wenn einer von euch Mathegenies kurz einen Blick darauf werfen könnte um mir zu sagen, ob es so stimmt.

L(x,y) = f(x,y) - λ(g(x,y) - c)

= 85 - x² - y² - λ(x + 9y - 82)

L'_x(x,y) = -2x - λ       =>     -2x = λ

L'_y(x,y) = -2y - 9λ     =>     -2y = 9λ     =>     λ = (-2y/9)

-2x = (-2y)/9     =>     y = 9x

L'λ(x,y) = x + 9*9x - 82 ≅ 0     (Man kann voraussetzen, dass es ein Maximum gibt)

x = 1     und daraus folgt     y = 9

Diese setzt man dann in f(x,y) ein und erhält 85 - 1² - 9² = 85 - 1 - 81 = 3

Answer 1

in deiner Rechnung kann ich keinen Fehler finden.

Die Schreibweise   L'_λ(x,y) = x + 9*9x - 82 = 0  ist aber nicht korrekt 

Besser  L'_λ(x,y) = 0  ⇒  x + 9*9x - 82 = 0   

Hier  L'_x(x,y) = -2x - λ       =>     -2x = λ

Richtiger:   L'_x(x,y) = -2x - λ = 0    =>  -2x = λ:  (bei y analog)  

Außerdem bezeichnet L_x bereits die partielle Ableitung von L nach x. 

 L'_x erscheint mir eher ungewöhnlich.

Gruß Wolfgang

Answer 2

HI, das Ergebnis stimmt. Bzgl. des Maximus kannst Du auch die Hesse Matrix berechnen die dann lautet

$$ \begin{pmatrix}  -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} $$ Die hat nur negative Eigenwerte (als Diagonalmatrix) und ist folglich negativ definit und damit liegt ein Maximu vor.

Answer 3

Weg ohne Lagrange:

\(f(x,y) = 85 - x^2 - y^2\) soll maximal werden.   NB:  \(x + 9y = 82\)

\(x = 82-9y\):

\(f(y) = 85 - (82-9y )^2- y^2\)

\(f'(y) = - 2\cdot(82-9y )\cdot(- 9)-2y\)

\( - 2\cdot(82-9y )\cdot(- 9)-2y=0\)

\( (82-9y )\cdot(- 9)+y=0\)

\(y=9\)

\(x = 1\)

\(f(1,9) = 85 - 1^2 - 9^2=3\)