Lesen und Lösen mit pq Formel

Question

in ein paar Tagen schreiben wir die Arbeit und ich weiß nicht, wie man das lernen kann.

Die Aufgabe ist:

Zwei Zahlen unterscheiden sich um 10.

Die Summe ihrer Quadrate ergibt 850.

Ich weiß einfach nicht, wie das geht oder wie man sowas lernen kann.

Es wäre schön, wenn irgendjemand mir helfen könnte. Ich bedanke mich schon in voraus.

Answer 1

Wann immer unbekannte Zahlen gesucht sind, gibt man ihnen Namen:

Zwei Zahlen unterscheiden sich um 10. Die Zahlen nenne ich x und y. Sie unterscheiden sich um 10 heißt dann x+10=y (dann ist y automatisch die größere der beiden Zahlen.

Die Summe ihrer Quadrate ergibt 850. Also x²+y²=850. Damit habe ich ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (i) x+10=y  und (ii) x²+y²=850. Dafür gibt es unterschiedliche Lösungsmethoden. Hier bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Für y in (ii) wird x+10 (gemäß (i) ) gesetzt.

x²+(x+10)² = 850 oder ausmultipliziert und zusammengefasst: 2x²+2x-750=0 oder x²+x-375=0. Für die pq-Formel ist p=1 und q=-375 also x_1/2=-1/2±√(1/4+375). oder x₁=-25 und x₂=15. Dann kann die kleinere Zahl 15 und die größere 25 sein: Probe 15²+25²=850. Geht auch mit den Negativen der beiden.

Answer 2

x-y=10

x=10+y

x^2+y^2=850

(10+y)^2+y^2=850

...

Answer 3

x nennen wir die eine Zahl. Da die zwei Zahlen sich um 10 unterscheiden, heißt die andere Zahl y = x + 10

Gegeben ist also x und y = x + 10

Die Summe (das Ergebnis der einen Zahl und der andere Zahl addiert) ihrer Quadrate (x² + y²) ergibt 850 (also x² + y² = 850):

x² + y² = 850

Da y = x + 10 ist, können wir y² in der Gleichung  mit (x+10)² ersetzen.

x² + (x + 10)² = 850                | Vereinfachen (1. binomische Formel)

x² + x² + 20x + 100 = 850

2x² + 20x + 100 = 850            | - 850

2x² + 20x - 750 = 0           | : 2

x² + 10x - 375 = 0

p-q-Formel:

p = 20

q = 375

Allgemeine p-q-Formel:

x_1,2 = - p/2 ± √((p/2)² - q)

p und q einsetzen:

x_1,2 = - 10/2 ± √((10/2)² + 375)

x_1,2 = - 5 ± √(25 + 375)

x_1,2 = - 5 ± √400

x_1,2 = - 5 ± 20

x₁ = 15 bzw. - 15

x₂ = 25 bzw. - 25

Das heißt, dass die zwei gesuchten Zahlen 15 und 25 bzw. -1 5 und - 25 sind. Nun kann man auch eine Probe durchführen, um zu sehen ob die Zahlen die Zahlen korrekt sind. Dafür setzt man 15 und 25 bzw. - 15 und - 25 in die Anfangsgleichung ein und guckt, ob 850 als Ergebnis herauskommt:

15² + 25² = 850

bzw. (- 15)² + (- 25)² = 850

850 = 850

Wie man sieht, die Zahlen sind korrekt.

Ich hoffe, du hast es einigermaßen verstanden.

Gruß