Beweise Vektorraum über K

Question

Sei K ein Körper in dem 1 ≠ -1, und sei V ein Vektorraum über K

Nun soll ich folgendes zeigen:

Seien u, v ∈ V und u ≠ v. Dann ist {u,v} genau dann linear unabhängig, wenn { u+v, u-v } linear unabhängig sind.

Hierbei komme ich mit der Bedingung "1≠-1" nicht klar. Soll das heissen, ein Vektor (a , b) ist linear unabhängig  von (-a , -b)?

Wie beweise ich das nun?

Danke

Comments

\(1\ne-1\) bedeutet \(2=1+1\ne0\). Du darfst daher bei der Erstellung der Lösung durch \(2\) teilen.

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Mit \( 1 \neq -1 \) will man nur sicher stellen, dass \( 1 + 1 \neq 0 \) gilt, denn in diesem Fall ist zum Beispiel \( u + u = 0 \), was an einer bestimmten Stelle den Beweis nicht mehr ermöglicht.

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Ok ich danke euch für die erste Hilfe. Nun tu ich mich aber schwer, die beiden Bedingungen in einem Beweis nieder zu schreiben? Habt ihr vielleicht ein Starthilfekabel?

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Bei linearer (Un-)Abhaengigkeit geht es offensichtlich um Linearkombinationen. Versuche also, Linearkombinationen von u und v durch solche von u+v und u-v auszudruecken und umgekehrt.

Answer 1

Hallo NKO,

\(\vec{0}\)  sei das neutrale Element der Addition in V

u+v und u-v  sind wegen  1 ≠ -1 verschieden.

Sie sind genau dann  linear unabhängig, wenn mit für x,y ∈ K die Gleichung

        x · (u+v) + y · (u-v)  =  \(\vec{0}\)  nur die triviale Lösung  (x|y) = (0|0) hat

⇔    x · u + x · v + y · u - y · v  =  \(\vec{0}\) 

⇔    (x+y) · u + (x-y) · v  =  \(\vec{0}\) 

Wegen der linearen Unabhänigkeit von u und v müssen die Koeffizienten  x+y und x-y beide gleich 0 sein:

  x+y = 0  und x-y =0    →   x+x = 0  →  x · (1+1) = 0  →_{1 ≠ -1}     x = 0  →  y = 0 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Seien {u,v}   linear unabhängig,

Dann gilt für alle x,y aus K gilt        
       x*u + y*v = 0-Vektor ⇒ x=0 und y=0     #

Um zu prüfen ob u+v  u-v  lin. un. sind, ist
der Ansatz    a*(u+v) + b(u-v) = 0-Vektor

also  au + av + bu - bv =  0-Vektor

       (a+b)*u   +  ( a-b)*v =  0-Vektor
also wegen  #     a+b=0    und    a-b = 0  

 Beides addiert ergibt   a + a = 0
               bzw.    (   1 + 1 ) * a  = 0                      

    also   1+1 = 0         oder    a = 0und genau hier kommt die zusätzliche Vor.   1≠ -1

bzw   1 + 1 ≠ 0 herein, denn dann ist a = 0 und wegen

a+b = 0   auch    b= 0   und also sind   u+v   und   u-v 

lin. unabhängig.

Die Rückrichtung geht so ähnlich.