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Sei K ein Körper in dem 1 ≠ -1, und sei V ein Vektorraum über K

Nun soll ich folgendes zeigen:

Seien u, v ∈ V und u ≠ v. Dann ist {u,v} genau dann linear unabhängig, wenn { u+v, u-v } linear unabhängig sind.

Hierbei komme ich mit der Bedingung "1≠-1" nicht klar. Soll das heissen, ein Vektor (a , b) ist linear unabhängig  von (-a , -b)?


Wie beweise ich das nun?

Danke

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\(1\ne-1\) bedeutet \(2=1+1\ne0\). Du darfst daher bei der Erstellung der Lösung durch \(2\) teilen.

Mit \( 1 \neq -1 \) will man nur sicher stellen, dass \( 1 + 1 \neq 0 \) gilt, denn in diesem Fall ist zum Beispiel \( u + u = 0 \), was an einer bestimmten Stelle den Beweis nicht mehr ermöglicht.

Ok ich danke euch für die erste Hilfe. Nun tu ich mich aber schwer, die beiden Bedingungen in einem Beweis nieder zu schreiben? Habt ihr vielleicht ein Starthilfekabel?

Bei linearer (Un-)Abhaengigkeit geht es offensichtlich um Linearkombinationen. Versuche also, Linearkombinationen von u und v durch solche von u+v und u-v auszudruecken und umgekehrt.

2 Antworten

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Hallo NKO,

\(\vec{0}\)  sei das neutrale Element der Addition in V

u+v und u-v  sind wegen  1 ≠ -1 verschieden.

Sie sind genau dann  linear unabhängig, wenn mit für x,y ∈ K die Gleichung

        x · (u+v) + y · (u-v)  =  \(\vec{0}\)  nur die triviale Lösung  (x|y) = (0|0) hat

⇔    x · u + x · v + y · u - y · v  =  \(\vec{0}\) 

⇔    (x+y) · u + (x-y) · v  =  \(\vec{0}\) 

Wegen der linearen Unabhänigkeit von u und v müssen die Koeffizienten  x+y und x-y beide gleich 0 sein:

  x+y = 0  und x-y =0    →   x+x = 0  →  x · (1+1) = 0  →1 ≠ -1     x = 0  →  y = 0 

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀
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Seien {u,v}   linear unabhängig,

Dann gilt für alle x,y aus K gilt        
       x*u + y*v = 0-Vektor ⇒ x=0 und y=0     #

Um zu prüfen ob u+v  u-v  lin. un. sind, ist
der Ansatz    a*(u+v) + b(u-v) = 0-Vektor

also  au + av + bu - bv =  0-Vektor

       (a+b)*u   +  ( a-b)*v =  0-Vektor
also wegen  #     a+b=0    und    a-b = 0  

 Beides addiert ergibt   a + a = 0
               bzw.    (   1 + 1 ) * a  = 0                      

    also   1+1 = 0         oder    a = 0und genau hier kommt die zusätzliche Vor.   1≠ -1

bzw   1 + 1 ≠ 0 herein, denn dann ist a = 0 und wegen

a+b = 0   auch    b= 0   und also sind   u+v   und   u-v 

lin. unabhängig.

Die Rückrichtung geht so ähnlich.
Avatar von 289 k 🚀

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