Hallo NKO,
\(\vec{0}\) sei das neutrale Element der Addition in V
u+v und u-v sind wegen 1 ≠ -1 verschieden.
Sie sind genau dann linear unabhängig, wenn mit für x,y ∈ K die Gleichung
x · (u+v) + y · (u-v) = \(\vec{0}\) nur die triviale Lösung (x|y) = (0|0) hat
⇔ x · u + x · v + y · u - y · v = \(\vec{0}\)
⇔ (x+y) · u + (x-y) · v = \(\vec{0}\)
Wegen der linearen Unabhänigkeit von u und v müssen die Koeffizienten x+y und x-y beide gleich 0 sein:
x+y = 0 und x-y =0 → x+x = 0 → x · (1+1) = 0 →1 ≠ -1 x = 0 → y = 0
Gruß Wolfgang